Cómo determinar los valores máximo y mínimo de un gráfico

Máximo y mínimo de una montaña rusa

Me gustan mucho las montañas rusas. Realmente me gusta, en particular, cuando llegas a la cima de la montaña rusa justo antes de caer en picado hasta el fondo. También me gusta ese punto en la parte inferior donde de repente te jalan hacia arriba, y tus entrañas llegan hasta tus pies.

Gráfico para el primer ejemplo

Veamos si podemos analizar una montaña rusa. Tomemos su posición a través de la Tierra como x y su altura como y . Así que dibujemos la altura de la montaña rusa en función de su ubicación, x . Me gusta mucho, en particular, el punto en la parte superior y el punto en la parte inferior de esta función de montaña rusa. Entonces, ¿cuáles son estos puntos? Estos son los que llamamos extremos . Los extremos son valores extremos , como un valor máximo o mínimo. En una montaña rusa, en esta montaña rusa en particular, hay una altura máxima, por lo que es un valor y máximo , y hay una altura mínima, una y mínimavalor. Pero, ¿qué pasa con estos otros dos puntos, cerca del principio y cerca del final? Si ignoro el resto de este gráfico, ese es un valor mínimo. Si ignoro el resto de este gráfico, ese es un valor máximo. Entonces, ¿qué son esos? Extrema puede ser ambos. Los extremos pueden ser globales o lo que llamamos extremos absolutos. Este es un valor máximo o mínimo para todo el dominio. Esa es la parte superior de la montaña rusa y la parte inferior de la montaña rusa. Pero también puedes tener extremos locales. También los llamamos extremos relativos, y estos son los valores máximo o mínimo en una región pequeña. Así que volviendo a mi montaña rusa, tengo el máximo global y el mínimo global, así como los lugares máximos y mínimos locales. Puedes pensar en este tipo de cadenas montañosas yvalles . El máximo mundial en la tierra es el monte. Everest. Así que también tengo un máximo local. Esa es esa pequeña colina en el patio trasero donde tiro toda mi basura.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo a este ejemplo. En este ejemplo, tenemos, muy obviamente, un mínimo global. Está en la parte inferior de este gráfico. También tenemos dos valores máximos. Tenemos este máximo local en el lado derecho y este máximo global en el lado izquierdo. Ahora tenga en cuenta que cada punto máximo o mínimo global también será un punto máximo o mínimo local. El montón de basura en mi patio trasero es un máximo local, pero el monte. El Everest también es un máximo local. Es algo local de esa región.

En el segundo ejemplo, hay dos máximos globales

Ejemplo # 2

Hagamos un ejemplo real, como y = sin ( x ) entre 0 y 3 pi . Si extraigo esto, ¿cuántos valores máximos y mínimos tengo? Definitivamente tengo un valor mínimo global, aquí en -1. ¿Qué pasa con un máximo global? En este caso tengo dos máximos globales. Hay dos puntos que son iguales a 1. Está bien porque no puedo elegir uno sobre el otro. Ambos tienen el mismo valor, así que tengo dos valores máximos globales. También tengo valores mínimos locales al principio y al final de mi rango, así que no puedo olvidarlos.

Comprender los valores extremos

Hagamos esto un poco más formal. Un máximo global está en algún valor de x , como x max donde y , o f , en ese punto es mayor que cualquier otro valor en su región. Así que esto es como decir la altura en la cima del monte. El Everest es mayor que la altura en cualquier otro punto de la Tierra. El mínimo global está en el valor x ( x mínimo, digamos) donde el valor en ese punto es menor que cualquier otro punto en su dominio. Por ejemplo, el Mar Muerto está más bajo que cualquier otro punto de la Tierra, al menos sobre el suelo. Un máximo local es solo el punto más grande localmente o el punto más alto localmente. Es donde f (x) es mayor que f (x)para cualquier punto a su alrededor. Este es el montón de basura local. La parte superior de ese montón de basura es más alta que cualquier otro punto alrededor de ese montón de basura. El mínimo local es igual. Es el valor mínimo en alguna zona cercana.

Recuerde incluir los extremos al contar los mínimos locales en el tercer ejemplo

Ejemplo # 3

Hagamos otro ejemplo. Digamos que tenemos una función y se parece un poco a esto. ¿Cuántos valores máximos y mínimos hay en este gráfico? Bueno, hay un valor máximo global, aquí, y hay un valor mínimo global, aquí. Entonces, tenemos un máximo local aquí, aquí, aquí y aquí. Así que tenemos un valor máximo global y cinco valores máximos locales, porque tenemos estos cuatro valores máximos que son solo valores máximos locales pero también tenemos el máximo global, entonces tenemos cinco. De manera similar, tenemos un mínimo global, pero tenemos seis mínimos locales. Ahora, puede que hayas dicho que tenemos cuatro, pero recuerda que debes incluir los extremos.

Ejemplo # 4

Hagamos otro ejemplo. Digamos que f (x) = x para -1 < x <1. Así que esto está entre -1 y 1, pero no incluyo los puntos en 1 o -1. Entonces puedo graficarlo, y tengo dos agujeros abiertos en ambos extremos. ¿Cuántos valores máximos y mínimos hay? Bueno, es una pregunta con trampa. No hay valores máximos ni mínimos. Eso es porque no puedo elegir un punto aquí que no tenga puntos que sean más grandes que él. Le gustaría decir x = 1. Eso no está en nuestra región. Puede decir menos de x = 1, pero en realidad no podemos definir eso, por lo que no hay ningún punto donde haya un valor máximo global o incluso local. Lo mismo sucede en -1. Entonces en este caso no hay valores extremos.

No hay valores extremos en el ejemplo final.

Resumen de la lección

Revisemos. Los valores extremos son sus puntos más altos y más bajos. Puede tener valores máximos, como montañas altas y puede tener valores mínimos, como su valle local. También puede tener un máximo o mínimo local y un máximo o mínimo global. Un ejemplo de un máximo local sería el montón de basura detrás de mi casa. Su altura es más alta que cualquier cosa a su alrededor, pero no si comienza a incluir toda la Tierra. El máximo global sería Mt. Everest. No hay nada en la tierra que sea más alto que el monte. Everest. En segundo lugar, siempre que intente encontrar valores extremos en algún dominio, asegúrese de considerar los bordes de su dominio. Por último, las discontinuidades no son valores máximos ni mínimos. Entonces teníamos ese gráfico donde teníamos agujeros en ambos extremos. Esos no cuentan como valores máximos o mínimos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador