Cómo encontrar la longitud del arco de una función

Use el delta xy delta y en el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia

Realmente disfruto mirando mapas. Y disfruto mucho trazando mi posición en un mapa y viendo cómo cambia a medida que me muevo. ¿Qué quiero decir con esto? Quiero decir, si estoy en Disneyland y estoy tratando de llegar de un extremo al otro de Disneyland, me gusta trazar mi camino en un mapa y ver qué tan lejos he caminado.

Longitud de la curva

Digamos que estoy en Disneyland y sigo la línea y = (2/3) x ^ (3/2). Voy de ( x = 0, y = 0) a ( x = 4, y = 8). ¿Cómo puedo saber qué tan lejos caminé exactamente?

Echemos un vistazo muy de cerca a una pequeña parte de mi camino. Acerquémonos aquí. Aquí mismo, habré caminado delta x en la dirección x y delta y en la dirección y . Esto es como una pendiente. Tengo un delta y norte y un delta x este. Si quiero encontrar la distancia entre mi punto inicial y el punto final de mi, voy a utilizar este delta x , y delta Y en el teorema de Pitágoras, así que sé que la distancia entre mi punto inicial y el punto final de mi será igual a la raíz cuadrada de ( delta x ^ 2 + delta y^ 2). Recuerde del teorema de Pitágoras, si c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde a y b son las longitudes de los otros dos catetos.

Simplifica lo que hay debajo de la raíz cuadrada factorizando

Si quiero saber la distancia total que caminé en mi viaje a través de Disneyland, voy a encontrar esta distancia, esta raíz cuadrada de ( delta x ^ 2 + delta y ^ 2), para cada una de estas pequeñas regiones, y Los voy a resumir todos. Esto ( delta x ^ 2 + delta y ^ 2), todo dentro de una raíz cuadrada, se ve un poco feo. Antes de continuar, lo voy a simplificar. Voy a factorizar un delta x ^ 2 de estos dos términos. Obtengo ( delta x ^ 2) (1 + (( delta y ) / ( delta x )) ^ 2). Porque tengo este delta x^ 2 como producto dentro de mi raíz cuadrada, puedo sacarlo del producto. Todo mi camino se convierte en la suma de todas estas pequeñas regiones que caminé de delta x por la raíz cuadrada de (1 + (( delta y ) / ( delta x )) ^ 2). Esta sería mi distancia recorrida.

Usar el teorema de Pitágoras en una gran distancia no es tan preciso como usarlo en una distancia mucho menor. De hecho, si considero que las longitudes de estos segmentos son cero, es decir, el límite cuando delta x llega a cero de estos segmentos, termino obteniendo la longitud exacta de mi ruta. También termino obteniendo el límite cuando delta x va a cero la suma de todos mis segmentos de la raíz cuadrada de ((1 + (( delta y ) / ( delta x )) ^ 2)) ( delta x ). Cuando tomo ese límite, no es más que una suma de Riemann a la que he tomado el límite. Esta es una integral. Esto es igual a la integral desde el inicio de mi camino, a , hasta el final de mi camino, b , de la raíz cuadrada de (1 + ( y`) ^ 2) dx . Este y `es simplemente dy / dx, así que eso es lo que le sucede a este término delta y / delta x cuando delta x va a cero. Esto deja de ser la pendiente de la recta y pasa a ser la pendiente de la tangente de la recta.

Problema de ejemplo

Ejemplo de integral

De hecho, encontremos la longitud de mi curva caminando por Disneyland. La longitud de mi curva es igual a la integral de x es igual a a ab de la raíz cuadrada de (1 + ( y `) ^ 2) dx . ¿Qué es y `? Mi línea es y = (2/3) x ^ (3/2). Si tomo la derivada de eso, obtengo y `= x ^ (1/2). Esto se debe a que cuando tomo la derivada de (2/3) x ^ (3/2), uso la regla de la potencia y reduzco este 3/2, por lo que obtengo ((2/3) (3/2 ) x ) ^ ((3/2) – 1). 3/2 – 1 es 1/2. Entonces, termino con y `= x^ (1/2). Esto también se conoce como raíz cuadrada de x . Puedo conectar eso en mi ecuación de longitud de curva, y también puedo conectar mis puntos inicial y final para x . Sé que comencé cuando x era 0 y terminé en x = 4. Voy a encontrar la longitud de mi curva como la integral de x = 0 ax = 4 de la raíz cuadrada de (1 + ( x ^ (1/2)) ^ 2) dx ; ( x ^ (1/2)) ^ 2 es (la raíz cuadrada de x ) ^ 2. Entonces, eso solo me da x . Mi integral se convierte en la integral de x = 0 ax = 4 de la raíz cuadrada de (1 + x )dx .

Puedo resolver esto usando una sustitución de u . Digamos u = 1 + x ; du entonces es igual a dx . Si conecto estas sustituciones, mi integral se convierte en la raíz cuadrada de udu , que es solo (2/3) u ^ (3/2). Conectando 1 + x para u y evaluándolo, obtengo (2/3) (1 + x ) ^ (3/2) evaluado de x = 0 a x = 4. Si enchufo x = 4, obtengo (2/3) (5) ^ (3/2). De eso, resto mi respuesta evaluada en x= 0, que es solo -2/3. Esto me da alrededor de 6,8. Mi viaje por Disneyland fue de 6.8, usando las unidades que decidí.

La solución al problema de Disneyland Trek

Resumen de la lección

Revisemos. La longitud de la curva de y = f (x) es igual a la integral de x = a a x = b de la raíz cuadrada de (1 + ( y `) ^ 2) dx . Sin embargo, lo que es más importante, esto trae a colación de qué se trata el cálculo. Para encontrar la longitud de la curva, sumamos un montón de partes más pequeñas y tomamos el límite cuando el tamaño de la parte se redujo a cero. Esto es lo mismo que tomar una suma de Riemann y convertirla en una integral, que, en el fondo del asunto, es todo cálculo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador