Rodrigo Ricardo

Cómo escribir la ecuación de una elipse en forma estándar

Publicado el 1 noviembre, 2020

Las ecuaciones de una elipse

Imagina un círculo que se está estirando y estás imaginando una elipse . Corta un cono de gofre de helado en ángulo y también obtendrás una elipse. Y como estás estudiando álgebra, definitivamente también hay una ecuación para esta forma. Y sí, hay una forma estándar de esta ecuación que nos da un montón de información útil.

De hecho, esta forma estándar nos permite dibujar una elipse con solo mirar los números. También podemos escribir nuestra ecuación simplemente mirando una elipse que ha sido graficada en nuestro plano cartesiano de coordenadas. Sigue mirando y aprenderás todo esto.

¿Por qué es útil esta información? Esta información es útil para los ingenieros cuando crean diseños que involucran elipses. Estas ecuaciones permiten precisión en el diseño. Ser capaz de escribir la ecuación de una elipse es una habilidad útil.

Dicho esto, veamos la forma estándar de nuestra ecuación de elipse.

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Aquí, vemos que nuestra ecuación tiene un término que usa la variable x y otro término que usa la variable y . Ambos están al cuadrado. El término x tiene una h , mientras que el término y tiene una k . La h y la k nos dicen sobre la ubicación de nuestra elipse. Las r con los pequeños subíndices nos dicen qué tan grande será nuestra elipse. Y nuestra ecuación de elipse siempre será igual a 1. Analizaremos estas partes que componen la ecuación de forma estándar con mayor detalle ahora.

El centro de la elipse

Las letras h y k nos dicen la ubicación de nuestra elipse. Ponlos juntos como ( h , k ), y obtenemos la ubicación del centro de nuestra elipse. Veamos un ejemplo.

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A partir de esta ecuación, vemos que nuestra h es 3 y nuestra k es 1. Encontramos estos números comparando nuestra ecuación con la ecuación en forma estándar. Cualquier número que veamos en lugar de nuestras letras es lo que equivale a cada letra respectiva. Si nuestra h es 3 y nuestra k es 1, entonces el centro de nuestra elipse es (3, 1). Podemos graficar esto en nuestro plano cartesiano de coordenadas colocando un punto en esa ubicación.

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El tamaño de la elipse

A continuación, miramos los números que están en el mismo lugar que nuestras letras r . Estos números nos dicen qué tan grande es nuestra elipse. La r sub x nos da el radio en la dirección x , y la r sub y nos dice el radio en la dirección y . Vemos que r sub x es igual a 2 ya que 2 al cuadrado es igual a 4, y r sub y es igual a 3 ya que 3 al cuadrado es igual a 9.

Recuerde que en nuestra forma estándar, las r son al cuadrado, por lo que nuestro valor de r es en realidad la raíz cuadrada del número que vemos. La r sub x nos dice qué tan lejos está el borde de nuestra elipse del centro en la dirección x , y la r sub y nos dice qué tan lejos está el borde de nuestra elipse del centro en la dirección y . Entonces, dado que nuestra r sub x es igual a 2, iremos 2 espacios a la izquierda y 2 espacios a la derecha para encontrar nuestros bordes en estas direcciones. Dado que nuestra r sub y es igual a 3, subiremos 3 espacios y descenderemos 3 espacios para encontrar nuestros bordes de elipse en esas direcciones.

Una vez que hayamos localizado estos bordes, podemos terminar dibujando nuestra elipse. Recuerda que es un círculo estirado.

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Ahora hemos terminado. ¿No fue genial? ¡Ni siquiera tuvimos que hacer cálculos matemáticos difíciles!

Escribir la ecuación de una elipse

Ahora veamos cómo podemos escribir la ecuación de una elipse si se nos da su centro y qué tan grande es tanto en la dirección x como en la dirección y . Dado que conocemos la forma estándar de nuestra ecuación de elipse, esta parte es realmente muy fácil.

Digamos que nuestro problema nos dice que el centro de nuestra elipse está ubicado en (4, 5), y que el radio en la dirección x es 2 y el radio en la dirección y es 4. ¿Cómo convertimos esta información en una ecuación? Lo hacemos etiquetando estos valores con las letras apropiadas que se utilizan en nuestro formulario estándar, y luego simplemente los conectamos.

Sabemos que nuestro centro usa las letras h y k como ( h , k ). Mi centro es (4, 5), entonces mi h es 4 y mi k es 5. El radio en la dirección x es 2, entonces mi r sub x es 2. El radio en la dirección y es 4, entonces mi r sub y es 4. Ahora que tenemos todo etiquetado, podemos insertarlos en nuestro formulario estándar.

( x -4) ^ 2 / (2) ^ 2 + ( y -5) ^ 2 / (4) ^ 2 = 1

( x -4) ^ 2/4 + ( y -5) ^ 2/16 = 1

Observe cómo tuvimos que elevar al cuadrado nuestros números de radio para obtener 4 y 16. Pero, ¿adivinen qué? Esto es todo lo que tenemos que hacer. ¡Terminamos y tenemos nuestra ecuación de elipse!

Resumen de la lección

Entonces, repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que una elipse es un círculo estirado. La forma estándar de una ecuación de elipse es

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h k r x x r y y h k r x r y

Los resultados del aprendizaje

Revise esta lección para aprender cómo:

  • Reconocer la utilidad de crear una elipse.
  • Identificar el centro de una elipse a partir de una ecuación
  • Recuerde la forma de la ecuación estándar para una elipse
  • Escribe la ecuación de una elipse

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