Cómo evaluar y escribir expresiones variables para secuencias aritméticas

Publicado el 22 noviembre, 2020

Reconocer secuencias

Una de las habilidades más importantes que aprenderá en la clase de matemáticas es la capacidad de reconocer secuencias. Piénselo … es posible que no siempre utilice álgebra y geometría según su trabajo, pero la capacidad de captar patrones es importante en casi todas las profesiones. Incluso los profesores de inglés y arte, que uno pensaría que no tienen necesidad de usar las matemáticas en sus trabajos diarios, tienen que ser capaces de aprender las secuencias.

Entonces, ¿cómo encuentras una secuencia? Y, ¿cómo se escribe una secuencia una vez que la ha encontrado? En esta lección, veremos cómo identificar y escribir secuencias aritméticas y geométricas.

Secuencias aritméticas

¿Ha contado alguna vez de dos en dos? ¿O tres? ¿O calculó cuántos días faltan para su cumpleaños contando las semanas que faltan y luego sumando la cantidad de días adicionales? En cualquiera de esos casos, ha utilizado una secuencia aritmética .

Una secuencia aritmética se usa cada vez que simplemente suma o resta el mismo número una y otra vez para crear una secuencia. Por ejemplo, cuando cuentas de 2 en 2, simplemente estás sumando 2 al último número que nombraste y repites el proceso: 2, 4, 6, 8, 10. De la misma forma, si contaras de 3 en 3, harías lo siguiente Lo mismo pero solo con un 3 en lugar de un 2: 3, 6, 9, 12, 15. También puedes contar hacia atrás desde un número, por ejemplo, hasta tu cumpleaños. Si faltan 55 días para tu cumpleaños, puedes contar de 7 en 7 la cantidad de días en una semana, luego, cuando obtengas un número menor a siete, eso te dejaría con la parte de los días de las semanas y los días: 55, 48, 41, 34, 27, 20, 13, 6. Cuenta todos los números excepto el número 6. Parece que tienes 7 semanas y 6 días hasta tu cumpleaños.

Encontrar diferencias comunes y escribir expresiones

En cualquier caso, las secuencias aritméticas dependen de que siempre exista una diferencia común que sea la misma. La diferencia común es la cantidad por la que sumas o restas para cada término de la secuencia. En nuestro primer ejemplo de contar de 2 en 2, la diferencia común era 2. Asimismo, era 3 en el ejemplo de contar de 3 en 3. Para encontrar la diferencia común, simplemente reste un número anterior en una secuencia de uno último. A veces será un número negativo, eso solo significa que la secuencia está disminuyendo.

Para escribir cualquier expresión aritmética, simplemente use la fórmula:

a + ( n – 1) * d

a es el primer número de la secuencia, mientras que n es el lugar dentro de la secuencia y d es la diferencia común.

Por ejemplo, si usáramos la fórmula del conjunto 4, 7, 10, 13 para encontrar el siguiente término, primero encontraríamos el número del término dentro de la secuencia. Como conocemos cuatro números, buscamos el quinto, por lo que n es igual a 5. 5 menos 1 es 4, que luego multiplicamos por d (que resulta ser 3). Recuerde, 3 es la diferencia común. 3 por 4 es 12, que luego sumamos al número original de la secuencia, o a . a es 4 aquí, entonces 12 más 4 son 16.

Secuencias geométricas

Otras veces, las secuencias no solo suben o bajan en la misma cantidad. En cambio, crecen o se encogen muy rápidamente. Estos se llaman sucesiones geométricas . En una secuencia geométrica, el último número de una secuencia se multiplica o se divide por un número dado para establecer cuál debería ser el siguiente número de la secuencia. Por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32, 64 y así sucesivamente comprenden una secuencia geométrica. También lo hace el 3, 9, 27, 81, 243, y así sucesivamente. Como puede ver, las secuencias geométricas crecen y se encogen mucho más rápido que las secuencias aritméticas.

Encontrar razones comunes y escribir expresiones

Si intentara encontrar una diferencia común en una secuencia geométrica, probablemente no llegaría muy lejos. En cambio, tienes que buscar otra cosa. Ese algo más se llama razón común. La razón común describe la multiplicación o división que le ocurre a cada término de la secuencia. Tomemos la primera secuencia de arriba, el 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Ahora, ¿qué sucede con cada número a medida que avanza? Una forma de hacer esto es preguntar qué matemáticas simples podríamos hacer para predecir el siguiente número. Para obtener de 2 a 4, puede sumar 2 o multiplicar por 2. Si probamos cualquiera de los que van de 4 a 8, vemos que solo uno de ellos funciona. De hecho, todos los números de la secuencia se pueden predecir multiplicando el último número por 2.

Pero, ¿y si la proporción común fuera una causa de contracción? Digamos que estamos viendo una secuencia de 243, 81, 27, 9 y 3. ¿Qué podría causar tal contracción? Nuevamente, veamos qué matemáticas fáciles pueden lograr con cada uno de estos. En el primero, de 243 a 81, puedes dividir entre 3 o restar 162. Como no podemos seguir restando 162 y obtener el siguiente número, intentemos dividir cada uno por 3. ¡Eso funciona! Como resultado, la razón común para esa secuencia se divide por 3.

Para escribir esto como una ecuación, usaríamos la fórmula para que el siguiente número sea igual al número original multiplicado por la razón común a la potencia del número del término menos 1. Recuerda que 4 es la razón común, 5 es la razón número del término que estamos buscando y 4 es el número original. Entonces, conectemos todo eso.

El siguiente número es igual a 4 por 4 elevado a 5-1.

Eso se simplifica a 4 veces 4 elevado a la cuarta potencia, o 4 veces 256. Eso resulta ser 1024.

Resumen de la lección

En esta lección, analizamos cómo reconocer y predecir secuencias aritméticas y geométricas. Recuerda que solo sumas o restas la diferencia común para crear una secuencia aritmética, mientras que las secuencias geométricas requieren multiplicación o división por la razón común. Recuerde que una secuencia aritmética tiene términos separados por una diferencia común. Una diferencia común es un número que se suma o resta a un término para encontrar otros términos.

La fórmula de una secuencia aritmética es: