Cómo graficar ln (x)

Pasos para resolver ln (x)

Usaremos las propiedades de los logaritmos para graficar f ( x ) = ln ( x ). Una función logarítmica tiene la forma f ( x ) = log una ( x ), e ingrese una ( x ) representa el número elevamos una a fin de obtener x . Llamamos a la base de la función logarítmica. La función f ( x ) = ln ( x ) es una función logarítmica con base e , donde e es un número irracional con valor e = 2.71828 (redondeado a 5 lugares decimales). En lugar de escribir el logaritmo natural como log e ( x ), usamos la notación ln ( x ).

Vamos a utilizar las siguientes propiedades de la gráfica de f ( x ) = log a ( x ) para graficar f ( x ) = ln ( x ).

• La intersección con x , o donde la gráfica cruza el eje x , de la gráfica es (1, 0).
• El eje y es una asíntota vertical del gráfico. En otras palabras, la gráfica se acerca al eje y , pero no lo toca.
• El dominio de la función son todos los números reales estrictamente mayores que 0.
• El rango de la función son todos números reales.
• Si la base de la función es mayor que 1, entonces la función aumenta, o aumenta de izquierda a derecha, y adopta la siguiente forma general.

Forma general cuando la base es mayor que 1

Si la base de la función es mayor que 0 y menor que 1, entonces la función está disminuyendo o disminuyendo de izquierda a derecha y toma la siguiente forma general.

Forma general cuando la base está entre 0 y 1

Examinemos estas propiedades para f ( x ) = ln ( x ). Sabemos que la base es e , ye > 1. Por lo tanto, la función es creciente y toma la forma general que se muestra arriba cuando la base es mayor que 1. Además, sabemos que la gráfica pasa por el punto (1, 0) y que se acerca al eje y , pero nunca lo toca. Por último, debido a que el dominio son todos los números reales estrictamente mayores que 0, y el rango son todos los números reales, sabemos que la gráfica completa caerá a la derecha del eje y . Estos hechos nos dan una idea de cómo se verá la gráfica.

Croquis aproximado con propiedades de logaritmos

Para ser más exactos, podemos trazar algunos puntos estratégicos, por lo que sabemos que la gráfica es precisa. Para encontrar puntos, elegimos algunos valores estratégicos de x, los conectamos en y = ln ( x ) y encontramos el valor de y correspondiente .

Así, tenemos los puntos (2.7, 1), (7.4, 2), (20.1, 3). Los trazamos junto con nuestro otro punto (1, 0) y conectamos los puntos con una curva suave que toma la forma descrita anteriormente.

Boceto preciso de ln (x)

Aquí está la solución al problema:

Se muestra la gráfica de f ( x ) = ln ( x ).

Gráfico de ln (x)

Función logarítmica vs exponencial

Consideremos otra forma de graficar ln ( x ). Otra propiedad de la función f ( x ) = log a ( x ) es que la función es uno a uno. Básicamente, esto significa que la función tiene una función inversa. La función inversa es una función que cambia efectivamente una función a una posición inversa. En este caso, la función inversa de una función f ( x ) se denota f -1 ( x ) y adquiere la siguiente propiedad.

Las gráficas de funciones inversas son imágenes especulares entre sí sobre la línea y = x , y siguen la regla de que si ( a , b ) está en la gráfica de la función f ( x ), entonces ( b , a ) está en la gráfica de la función f -1 ( x ). Esta información hace que sea bastante fácil graficar funciones inversas si tenemos una de las gráficas.

Cuando se trata de la función logarítmica f ( x ) = log a ( x ), la función inversa es la función exponencial f -1 ( x ) = a x . Por tanto, en nuestro ejemplo, la función inversa de f ( x ) = ln ( x ) es f -1 ( x ) = e x .

Se muestra la gráfica de e x .

Gráfica de e ^ x

Podemos usar esta gráfica para representar ln ( x ). Debido a que los puntos (0, 1), (1, 2.7) y (2, 7.4) están en la gráfica de e x , y ln ( x ) es la inversa de e x , tenemos que (1, 0), (2.7, 1) y (7.4, 2) están en la gráfica de ln ( x ). Usando estos puntos junto con el hecho de que estamos reflejando la gráfica de e x sobre la línea y = x , podemos graficar ln ( x ) como se muestra en la siguiente imagen.

Gráfica de ln (x) de la gráfica de e ^ x

Vemos que si estamos familiarizados con la gráfica de e x , y algunas propiedades de las funciones inversas, podemos usarla para graficar ln ( x ). Siempre es útil conocer una gran cantidad de formas de graficar una función, y ahora hemos visto dos formas diferentes de graficar ln ( x ).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador