Cómo hacer una mesa Cayley

Mesas Cayley

Cuando estudió multiplicación en la escuela primaria, probablemente tuvo que memorizar las tablas de multiplicar. Estas tablas tenían filas y columnas de números como encabezados y productos de esos números en el interior de la tabla. Las tablas de multiplicar contienen todas las relaciones entre los números (al menos siempre que a usted solo le importe la multiplicación).

Un grupo es un conjunto de elementos cerrados bajo una operación asociativa que incluye una identidad y una inversa para cada elemento. Una tabla de Cayley describe la operación (es decir, la interacción entre los elementos) de un grupo finito. Una tabla de Cayley es realmente la tabla de multiplicar para el grupo, excepto que la operación de grupo no necesariamente es una multiplicación.

Ejemplo

Construyamos la Tabla de Cayley para el grupo cíclico de orden 3 (eso solo significa que tiene tres elementos en el grupo). Aunque se pueden usar diferentes símbolos, llamaremos a los elementos de grupo 0, 1 y 2, y usaremos la operación de grupo de suma módulo 3. Esto significa que sumamos los elementos, pero si obtenemos un número mayor que 2, restamos 3 automáticamente. Por ejemplo, 1 + 2 = 0 en este grupo ya que 1 + 2 da 3, pero luego restamos 3 para obtener 0.

Aquí está la tabla Cayley para este grupo.

Tabla Cayley para el grupo cíclico de orden 3

Para completar la fila inferior de la tabla Cayley, agregue el módulo 3 para obtener que 2 + 0 = 2, 2 + 1 = 0 y 2 + 2 = 1. Llenar una tabla Cayley es fácil siempre que conozca el funcionamiento del grupo.

Propiedades de una mesa Cayley

La tabla Cayley brinda toda la información necesaria para comprender la estructura de un grupo. De la tabla de Cayley para el grupo anterior, vemos cuáles son los elementos (0, 1 y 2). ¿Notaste que cada fila y cada columna contienen cada elemento? Como un Sudoku correcto, este patrón es válido para cualquier Tabla Cayley correcta. Hay un par de otras cosas que podemos averiguar sobre el grupo de su Tabla Cayley:

1. Debido a que la fila 0 es la misma que la fila del encabezado y la columna 0 es la misma que la columna del encabezado, sabemos que 0 es el elemento de identidad del grupo.
2. ¿Cómo encontramos la inversa de un elemento dado? Suponga que queremos saber la inversa del elemento 1 en el grupo cíclico de orden 3. Mire en la fila 1 y encuentre el elemento identidad 0. Luego suba para encontrar el encabezado de esa columna – esta es la columna 2. Por lo tanto, el inverso de 1 es 2.

Construyendo una mesa Cayley

Para hacer una tabla de Cayley para un grupo finito dado, comience enumerando los elementos del grupo en la fila superior y en la columna de la izquierda. Tradicionalmente, el elemento de identidad se enumera primero y los elementos se enumeran en el mismo orden de izquierda a derecha y de arriba a abajo. ¡Esta parte es súper fácil!

Ahora solo queda llenar el interior de la mesa. Para completar el elemento en la fila del elemento x y la columna del elemento y, averigüe qué es x * y pensando en la operación para ese grupo en particular. Haga esto para cada par de elementos. Tenga en cuenta que es posible que x * y e y * x no siempre sean iguales, así que tenga cuidado con las filas y columnas. (Aquí, el símbolo * representa la operación de grupo, que puede ser suma, multiplicación, composición u otra cosa, dependiendo de cuál sea el grupo).

Una vez que haya terminado de construir una tabla Cayley, ¿cómo sabe si lo ha hecho correctamente o no? La única forma de estar realmente seguro es verificar todas y cada una de las entradas, pero hay algunas cosas fáciles de buscar:

1. Cada entrada debe ser un elemento del grupo. No puedes ‘inventar’ nuevos elementos sobre la marcha.
2. La fila correspondiente al elemento de identidad (normalmente la fila superior) debe coincidir con la fila de encabezado.
3. La columna correspondiente al elemento de identidad (generalmente la columna de la izquierda) debe coincidir con la columna del encabezado.
4. Cada fila debe contener cada elemento del grupo exactamente una vez. (Como Sudoku)
5. Cada columna debe contener cada elemento del grupo exactamente una vez. (Como Sudoku)

Ejemplo

Se le pide que construya una tabla de Cayley para el grupo de simetrías de un triángulo equilátero. Una simetría es un movimiento rígido que deja el triángulo con el mismo aspecto que su posición inicial. Puede que le resulte útil cortar un triángulo equilátero de una hoja de papel para maniobrar mientras piensa en esto. Etiquete las esquinas de su triángulo con las letras A, B y C como se muestra y luego etiquete las esquinas en la parte posterior del triángulo para que coincidan con el frente.

Triángulo equilátero

Una forma de dejar el triángulo con el mismo aspecto es no moverlo. Dejaremos que e sea el elemento del grupo que significa «no hacer nada». También podemos rotar el triángulo 120 ° en sentido antihorario o podemos rotarlo 240 ° en sentido antihorario. Llamemos a estas dos maniobras R₁ y R₂, respectivamente. Observe que aunque las etiquetas en las esquinas de los triángulos se han movido, el triángulo sin etiquetar se ve igual que cuando comenzó. Sé que esto parece confuso, ¡pero lo dominarás cuando terminemos!

También hay 3 reflexiones o «volteretas» que podemos hacer; uno sobre cada una de las líneas punteadas que se muestran en la figura. Llamemos a la reflexión sobre la línea de puntos vertical (a través de la esquina B en el diagrama) S₁. Con el etiquetado de arriba, S₁ deja la esquina B donde está y cambia las esquinas A y C. De manera similar, llamaremos a la reflexión sobre la línea de puntos que pasa por la esquina inferior derecha S₂ y la reflexión sobre la línea de puntos a través de la esquina inferior izquierda S₃.

Ahora configuramos la tabla Cayley como se muestra a continuación.

Tabla de Cayley para el grupo de simetrías de un triángulo equilátero

La primera fila es fácil de completar; como e no hace nada, esta fila coincide con la fila de encabezado. Pensemos en la fila correspondiente a R₁. Para R₁ * e, obtenemos R₁ ya que e no hace nada. Para R₁ * R₁, obtenemos R₂ ya que girar una vuelta y luego girar una vuelta de nuevo es lo mismo que girar dos vueltas. Ahora es posible que desee utilizar su triángulo de papel. Para averiguar R₁ * S₁, gire el triángulo una vez en sentido antihorario, luego refleje el triángulo sobre la línea vertical. Cuando haces esta reflexión, la esquina superior no se mueve y las dos esquinas inferiores cambian. Si ha etiquetado su triángulo como en el diagrama anterior, la esquina C está en la parte superior y A está en la parte inferior izquierda. Ahora observe que A está en su posición original mientras que B y C se han cambiado. Eso significa que las dos simetrías combinadas equivalen a reflejar el triángulo sobre la línea que pasa por la esquina inferior izquierda, S₃. Manipulaciones similares mostrarán que R₁ * S₂ es S₁ y R₁ * S₃ es S₂. Esto completa la segunda fila de Cayley Table.

Para completar el resto de la tabla, siga trabajando un elemento a la vez. Si este proceso le resulta tedioso, ¡no está solo! El valor de completar una tabla de Cayley es que está creando una especie de «diccionario» para la operación de grupo; en el futuro, puede buscar la operación en la tabla Cayley en lugar de averiguarlo desde cero.

Tabla de Cayley para el grupo de simetrías de un triángulo equilátero

En caso de que todavía esté un poco confuso en el grupo de simetría, ¡aguante! Este es uno de los conceptos más difíciles de comprender para los estudiantes principiantes de álgebra, pero lo dominarás en poco tiempo.

Resumen de la lección

La tabla de Cayley para un grupo finito es un diccionario de la operación de grupo. Para construir una tabla Cayley para un grupo dado, enumere sus elementos a lo largo de la fila superior y la columna izquierda. Complete cada punto en el interior de la tabla evaluando la operación de grupo donde el elemento que encabeza esa fila es el primero y el elemento que encabeza esa columna es el segundo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador