Cómo integrar funciones con fracciones parciales

Fracciones parciales

Para que las fracciones sean iguales, A + B debe ser igual a -1 y A – 4B debe ser 14

Muy bien, digamos que desea encontrar el área bajo la curva, (14- x ) / ( x ^ 2 – 3 x – 4) dx , y desea encontrar el área entre x = 6 y x = 10. Ese gráfico se parece a esto. Tenemos un par de asíntotas aquí, porque en algún momento, esto no está definido. Entonces, ¿cómo encontramos esta área debajo de la curva? ¿Cómo encontramos, en particular, esta integral? ¿Cómo integramos esto? Bueno, queremos usar fracciones parciales . Aquí tenemos una fracción realmente desagradable, y queremos hacerlo un poco más simple dividiéndolo. Primero, voy a factorizar esta cuadrática, x ^ 2 – 3 x – 4, y encuentro que puedo factorizar eso como ( x – 4) ( x + 1). Así que escribiré mi fracción grande como la suma de ( A / ( x – 4)) + ( B / ( x + 1)). Ahora A y B son coeficientes indeterminados. Para encontrarlos, voy a combinar estos dos términos, entonces obtengo Ax + A + Bx – 4 B, e hice eso multiplicando este primer término por ( x + 1) / ( x + 1) y el segundo término por ( x – 4) / ( x – 4). Si reúno todos los términos con x en ellos, obtengo x ( A + B ), y los términos restantes son A – 4 B , por lo que para que estas dos fracciones sean iguales, A + B tiene que ser -1 , y A – 4 B tiene que ser igual a 14. Puedo resolver esas dos ecuaciones y obtengo A = 2, B= -3. Entonces puedo escribir mi fracción grande y desagradable como la suma de dos fracciones simples, es decir, (2 / ( x – 4)) + (-3 / ( x + 1)). ¿Puedo integrar esto? ¿Va a ser más fácil de resolver?

En el primer ejemplo de sustitución de u, el primer término se convierte en 2 (ln (6) – ln (2))

Bueno, sí, porque de hecho puedo separar esto en dos integrales diferentes. Recuerda las propiedades lineales de las integrales. Puedo separar esto en dos y sacar estas constantes delante de la integral. Entonces obtengo 2 veces la integral de 6 a 10 de (1 / ( x – 4)) dx – 3 veces la integral de 6 a 10 de (1 / ( x + 1)) dx . Bien, ¿puedo encontrar estas integrales? Bueno, veamos ese primer término.

U sustitución

Tengo 2 veces la integral de 6 a 10 de (1 / ( x – 4)) dx – hmm. Bueno, usemos una sustitución de u aquí. Digamos que u = x – 4, y voy a sustituir en x – 4 por u , entonces voy a integrar 1 / u . Necesito deshacerme de este dx , así que voy a tomar la derivada de u = x – 4, y obtengo la derivada de u es igual a la derivada de x ( du = dx ). Entonces, si conecto eso, encuentro que mi integral se convierte en (1 / u )du . Sé cuál es la integral de (1 / u ) du ; es solo el logaritmo natural (ln) de u . Es decir, si tomo la derivada del logaritmo natural de u , obtengo 1 / u . Pero no quiero tener u en mi resultado, quiero tener x . Ingresemos x – 4 para u , de modo que mi anti-derivada se convierta en ln ( x – 4). Si conecto eso en mi integral definida, obtengo 2ln ( x – 4), evaluado de 6 a 10. Recuerde que cuando tenemos f (x) de 6 a 10, con esta barra vertical, lo que realmente queremos decir es fen 10, la parte superior de esta barra, menos f evaluado en 6, la parte inferior de esta barra. Entonces 2ln ( x – 4) de 6 a 10 es igual a 2 veces el logaritmo natural de 10 – 4, o 6, menos el logaritmo natural evaluado en x = 6, entonces ese es el logaritmo natural de 2 (2ln (6) – En (2)). Este primer término, recuerde que tengo una ecuación grande aquí, y este es solo el primer término de esa ecuación, se convierte en 2 (ln (6) – ln (2)).

En el primer problema de sustitución de u, el área bajo la curva es aproximadamente .084

¿Qué pasa con este segundo término, este -3 veces la integral de 6 a 10 de (1 / ( x + 1)) dx ? Bueno, vamos a hacer lo mismo. Voy a hacer una sustitución de u , donde u = x + 1. Si tomo la derivada de eso, obtengo du = dx . Permítanme conectarlos a mi integral y obtengo la integral de (1 / u ) du , que es solo el registro natural. Los vemos mucho cuando tratamos con fracciones parciales; casi siempre vamos a tener un tronco natural. Entonces ln ( u ) es igual a ln ( x + 1) cuando conecto mi x + 1 para u. Todo este término se convierte en 3ln ( x + 1) evaluado de 6 a 10. Eso es igual a 3 (ln (11) – ln (7)). Si los coloco para mi segundo término, encuentro que mi integral completa es igual a 2 (ln (6) – ln (2)) – 3 (ln (11) – ln (7)). Eso es aproximadamente .84 si lo conecto a una calculadora. Entonces, en este caso, el área debajo de la curva es aproximadamente igual a .084.

U Ejemplo de sustitución 2

Entonces hagamos otro ejemplo. Digamos que quiero integrar (2 x ) / ( x ^ 2-9) de x = 4 a x = 5. Podría factorizar x ^ 2 – 9 y obtener ( x – 3) ( x + 3). Pero espere un segundo. Soy un gran fanático de las fracciones parciales, pero en realidad solo deberías usar fracciones parciales cuando un método más fácil no funcione. Y si le doy un buen vistazo a esto, veo que realmente puedo hacer una sustitución de u en esta fracción. Humor conmigo aquí.

Usando la sustitución de u para resolver el problema final

Digamos que voy a sustituir u por x ^ 2 – 9. Eso significa que du sería la derivada de esto, entonces eso es 2 xdx . Eso significa que tengo (1 / u ) du , y la integral de eso es solo ln ( u ). Si introduzco x ^ 2 – 9 para u , encuentro que mi integral es ln ( x ^ 2 – 9). ¡Guauu! ¡Eso fue mucho más fácil que hacer la fracción parcial! Usemos esto. Entonces ln ( x ^ 2-9), evaluado desde x = 4 hasta x= 5, me da el logaritmo natural de (5 ^ 2) – 9, que es ln (16), menos el logaritmo natural de (4 ^ 2) – 9, o ln (7). Bueno, esto equivale a .83. Entonces, resolverlo mediante la sustitución de u fue mucho más rápido que pasar y encontrar la fracción parcial, aunque podría haberlo hecho.

Resumen de la lección

Por lo tanto, cuando integre fracciones complejas , lo primero que debe hacer es ver si una sustitución funciona; le ahorrará mucho tiempo a largo plazo. Si no funciona, desea factorizar la fracción y usar coeficientes indeterminados para dividir esta fracción compleja en algunas fracciones más fáciles y pequeñas. En cada uno de estos, probablemente necesitará una sustitución de u , pero luego generalmente puede integrar muy fácilmente. Solo recuerde, con fracciones complejas (y, en realidad, todos los problemas de integración), es posible que tenga que probar algunas cosas. A ver si uobras de sustitución. Si no es así, use fracciones parciales. Si, digamos, las fracciones parciales no funcionan, tal vez necesite integrar por partes. Todo va a ser un poco de prueba y error, pero lo dominarás.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador