Cómo probar y derivar identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas

En trigonometría, tenemos un montón de identidades de trigonometría o declaraciones verdaderas sobre funciones trigonométricas. Piense en estos como definiciones si lo desea. Le dicen cómo describir ciertas funciones trigonométricas en otros términos.

Usamos nuestras identidades de trigonometría para ayudarnos a simplificar problemas de trigonometría más complicados y probar otras declaraciones de trigonometría. Lo realmente bueno de algunas de nuestras identidades es que podemos probarlas fácilmente a partir de otras identidades. Entonces, si alguna vez olvida algunos de ellos, puede obtenerlos usted mismo si recuerda las pruebas que está a punto de ver. Estas listo para comenzar? ¡Ponte tu gorra de pensar!

La tangente

La primera que vamos a ver es la función tangente. Recuerda que ya has aprendido que la función tangente también es la función seno dividida por la función coseno. ¿Cómo se les ocurrió esto? Podemos derivar esto fácilmente usando nuestras definiciones para cada una de esas funciones. Asegúrese de que su límite de pensamiento todavía esté puesto, ya que esto requiere un poco de pensamiento.

Primero, nuestras definiciones: sabemos que nuestra función seno se define como opuesta sobre hipotenusa, nuestra función coseno es adyacente sobre hipotenusa y nuestra función tangente es opuesta sobre adyacente. Recuerde que estas definiciones se basan en el triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el lado de la hipotenusa, el adyacente es el lado más cercano al ángulo y el opuesto es el lado opuesto al ángulo.

Usaremos estas definiciones para mostrar cómo podemos pasar del seno sobre el coseno a la función tangente. Comenzamos con nuestro seno / coseno. Luego insertamos nuestras definiciones. Obtenemos (opuesto / hipotenusa) / (adyacente / hipotenusa).

Usando nuestro conocimiento de dividir fracciones, convertimos esto en un problema de multiplicación volteando la fracción de abajo. Obtenemos (opuesto / hipotenusa) * (hipotenusa / adyacente). Ahora, podemos continuar y cancelar o simplificar lo que podamos. Vemos una hipotenusa en el numerador y denominador. Podemos seguir adelante y cancelarlos.

¿Qué nos queda? Nos quedamos con lo opuesto / adyacente. ¿Qué función define esto? ¿No es la función tangente? Y ahí lo tenemos; hemos derivado la función tangente de seno / coseno. Todo el proceso se ve así:

seno / coseno = (opuesto / hipotenusa) / (adyacente / hipotenusa) = (opuesto / hipotenusa) * (hipotenusa / adyacente) = opuesto / adyacente = tangente.

Bastante bien, ¿eh?

Las identidades de doble ángulo

Ahora, veamos algo un poco más complicado, pero no más difícil. Vamos a derivar nuestras identidades de doble ángulo a partir de nuestras identidades de suma y diferencia. Recuerde que nuestras identidades de doble ángulo son estas:

Y nuestras identidades de suma son estas:

Las identidades de diferencia son las mismas que las identidades de suma, excepto que los signos son opuestos. Lo que esto significa es que donde vea un signo más ahora, verá un signo menos, y donde ve un signo menos ahora, verá un signo más. Si no ve un letrero delante de algo, permanece igual.

En esta parte de la lección, solo veremos las identidades de suma que ve. Podemos derivar nuestras identidades de doble ángulo a partir de nuestras identidades de suma simplemente estableciendo los ángulos alfa y beta iguales entre sí. Si alfa y beta fueran ambos x , entonces alfa más beta se convertirán en 2 x . Si conectamos x tanto para alfa como para beta, obtendremos estos para nuestras identidades de suma:

Todo lo que hicimos fue conectar x tanto para alfa como para beta y luego simplificamos nuestras expresiones. Aplicamos nuestras habilidades de álgebra para combinar términos semejantes. ¿Reconoces las fórmulas con las que terminamos? ¿No son nuestras identidades de doble ángulo?

¡Sí, de hecho lo son! Si alguna vez olvida sus identidades de doble ángulo, pero recuerda sus identidades de suma, entonces puede encontrar fácilmente las identidades de doble ángulo simplemente estableciendo ambos ángulos en las identidades de suma con el mismo valor.

Las identidades de medio ángulo

Para nuestra última derivación, vamos a derivar nuestras identidades de medio ángulo a partir de nuestras identidades de doble ángulo. Este requiere más poder cerebral, así que suba su capacidad de pensamiento al máximo. Nuestras identidades de medio ángulo son estas:

Para derivar estas fórmulas, usaremos nuestra identidad de coseno de doble ángulo y simplemente dividiremos todos los ángulos en la fórmula por 2. Veamos qué obtenemos cuando hacemos eso. Solo estamos usando la identidad de coseno de doble ángulo porque podemos derivar todas las identidades de medio ángulo de esta fórmula:

Para continuar, usaremos la ayuda de la identidad pitagórica, que es sin ^ 2 ( x ) + cos ^ 2 ( x ) = 1. Resolviendo para sin ^ 2 ( x ), obtenemos 1 – cos ^ 2 ( x ). Resolviendo para cos ^ 2 ( x ), obtenemos 1 – sin ^ 2 ( x ). Dado que el ángulo x es arbitrario, podemos introducir estos valores en nuestra identidad de coseno de doble ángulo, reemplazando los ángulos con x / 2.

Primero, vamos a sustituir el cos ^ 2 ( x / 2) con 1 – sin ^ 2 ( x / 2). Obtenemos cos ( x ) = 1 – sin ^ 2 ( x / 2) – sin ^ 2 ( x / 2). Simplificando, obtenemos cos ( x ) = 1 – 2 sin ^ 2 ( x / 2). Para resolver sin ( x / 2), primero restamos el 1 de ambos lados y luego dividimos por un 2. Luego, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados. Terminamos con esto:

Ahora, vamos a reemplazar sin ^ 2 ( x / 2) con 1 – cos ^ 2 ( x / 2). Veamos lo que obtenemos:

De acuerdo, hasta ahora todo bien. ¿Ves lo que hemos encontrado hasta ahora? ¡Ya hemos encontrado las identidades de medio ángulo para seno y coseno! Ahora, solo necesitamos encontrar el de la tangente.

Podemos hacer esto fácilmente al darnos cuenta de que nuestra función tangente es simplemente nuestra función seno dividida por nuestra función coseno. Para encontrar nuestra identidad de tangente de medio ángulo, podemos simplemente dividir nuestra identidad de seno de medio ángulo con la de nuestra identidad de coseno de medio ángulo. Al hacer eso, obtenemos esto:

¡Tenemos nuestra identidad de medio ángulo tangente! ¿No fue genial? Pudimos derivar nuestras tres identidades de medio ángulo a partir de solo la identidad de un coseno de doble ángulo.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que nuestras identidades trigonométricas son declaraciones verdaderas sobre funciones trigonométricas. Aprendimos a derivar la tangente de las definiciones de triángulos rectángulos a partir de las funciones seno y coseno. Obtenemos seno / coseno = (opuesto / hipotenusa) / (adyacente / hipotenusa) = (opuesto / hipotenusa) * (hipotenusa / adyacente) = opuesto / adyacente = tangente. También vimos cómo derivar las identidades de doble ángulo a partir de la suma de identidades. Después de esto, vimos cómo derivar las identidades de medio ángulo a partir de la identidad de coseno de doble ángulo.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, debería poder:

• Definir identidades trigonométricas
• Derivar la tangente de las funciones seno y coseno
• Explicar cómo derivar identidades de doble ángulo a partir de identidades de suma y las identidades de medio ángulo a partir de la identidad de coseno de doble ángulo.