Usar la pendiente para probar o refutar un cuadrilátero

Cuadriláteros: ¿Qué paralelogramo es un rectángulo?

John Anyson está sentado en su clase de geometría de la escuela secundaria tomando un examen. Se encuentra con un problema que le da una lista de cuatro pares de coordenadas y le pide que muestre si los puntos definen las esquinas de un paralelogramo, pero no un rectángulo, usando la pendiente. John se rasca la cabeza al recordar que un paralelogramo es un polígono de cuatro lados (forma), donde cada par de lados opuestos es paralelo, y que un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo donde no solo hay pares de lados opuestos paralelos, sino que los pares de lados adyacentes (o en contacto) son perpendiculares. John dejó escapar un suspiro y pensó: ¿Cómo puedo usar la pendiente para descubrir estas cosas? ¿Puede usar la pendiente para determinar si un cuadrilátero es un paralelogramo o un rectángulo? Vamos a averiguar.

Determinando la pendiente dados dos puntos

Antes de que John pueda siquiera comenzar a responder si una lista de cuatro puntos define un paralelogramo o un rectángulo, necesita recordar cómo encontrar la pendiente entre dos puntos. La pendiente se conoce comúnmente como subida sobre carrera, dicho de otra manera, es cuántas unidades tendrías que subir o bajar, dividida por cuántas unidades tendrías que ir hacia la izquierda o la derecha en una gráfica desde la primera coordenada. emparejar al segundo. Esto también se puede escribir como

Por ejemplo, si se nos dan los pares de coordenadas (2,1) y (8, -7), restaríamos la primera coordenada y de la segunda, y dividiríamos por la primera coordenada x de la segunda. En nuestro caso eso sería

Líneas paralelas y perpendiculares

Otro concepto útil que John debe recordar es lo que significa, en términos de pendiente, que dos líneas sean paralelas o perpendiculares. Se dice que un par de rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; mientras que, dos líneas son perpendiculares si las dos pendientes son recíprocas negativas entre sí, o dicho de otra manera, se obtiene -1 cuando se multiplican las pendientes de las dos líneas. Armado con estas herramientas, John está listo para abordar algunos problemas.

Probar y refutar paralelogramos y rectángulos

Problema 1) ¿Los puntos A (-3, -6), B (2,4), C (0,9) y D (-4,1) definen las esquinas de un paralelogramo? Para responder sí, tendríamos que verificar las pendientes de los lados del cuadrilátero resultante para ver si los lados opuestos son paralelos. Antes de calcular las pendientes para cada par posible, sería aconsejable dibujar la figura para tener una idea rápida de qué lados de los grupos de pares de coordenadas se deben verificar.

AB CD AD BC

Problema 2) ¿Los puntos A (-4,8), B (6,4), C (4, -2) y D (-6,2) definen las esquinas de un paralelogramo? Nuevamente trazaremos los puntos y calcularemos la pendiente cuatro veces.

AB CD AD BC

Problema 3) ¿Los puntos A (-3,1), B (1,3), C (4, -3) y D (0, -5) definen las esquinas de un rectángulo? Para responder a esta pregunta veremos si los lados opuestos son paralelos; sin embargo, también comprobaremos que los lados adyacentes sean perpendiculares.

AB CD AD BC

Resumen

Usando el hecho de que

rectángulo de paralelogramo