Ángulo doble: propiedades, reglas, fórmulas y ejemplos

¿Qué es un ángulo doble?

El concepto conocido como ángulo doble está asociado con las tres razones trigonométricas comunes: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas razones (seno, coseno y tangente) son funciones que muestran la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, con respecto a ciertos ángulos en el triángulo.

Doble, como la palabra lo indica, significa aumentar el tamaño del ángulo al doble de su tamaño. Podemos lograr esto de dos maneras, multiplicando o sumando. Si el ángulo y es de 100 grados, cuando el ángulo se duplica, se convierte en 200 grados. En trigonometría, duplicar el ángulo es similar en concepto. Sin embargo, se debe tener precaución en cuanto a qué estamos duplicando exactamente.

Digamos que tenemos Cos 60 = 0.5. Si queremos duplicar el ángulo, entonces podemos pensar en hacer una de las siguientes cosas:

A) 2 * Cos x daría 2 * 0.5 = 1

B) Cos 2 x daría Cos 2 * 60 = Cos 120 = – 0.5

En la parte A no estamos duplicando el ángulo, sino duplicando el coseno del ángulo. En la parte B, sin embargo, solo duplicamos el ángulo.

Por lo tanto, duplicar el ángulo se refiere a multiplicar el ángulo por dos. La otra forma de duplicar una cantidad es agregar la misma cantidad a la cantidad original. Por ejemplo, si tiene 10 manzanas y duplicamos su cantidad, podríamos agregar 10 manzanas más. Al sumar, también duplicamos su cantidad, al igual que cuando multiplicamos por 2.

Ambos conceptos se aplican a la duplicación del ángulo de las relaciones trigonométricas. En consecuencia, duplicar el ángulo indica lo siguiente:

Sin (x + x) = Sin 2 x

Cos (x + x) = Cos 2 x

Tan (x + x) = Tan 2 x

La fórmula del doble ángulo

Ahora, recuerde que las razones trigonométricas comparten relaciones matemáticas. Por ejemplo, la función trigonométrica tangente se puede expresar como una fracción de seno y coseno, Tan x = Sin x / Cos x .

La fórmula del ángulo doble es el método de expresar Sin 2 x , Cos 2 x y Tan 2 x en relaciones congruentes entre sí. En esta lección, buscaremos demostrar a pequeña escala que estas relaciones son verdaderas. Comprender las pruebas básicas a continuación ayudará a recordar cada fórmula. Comencemos con el seno:

Sin (x + x) = Sin x Cos x + Sin x Cos x

Sin (x + x) = 2 Sin x Cos x

Como ya establecimos que Sin (x + x) = Sin 2 x , entonces Sine 2 x = 2 Sin x Cos x .

A continuación, veremos Cos 2 x :

Una vez más, veremos Cos (x + x) = Cos x Cos x – Sin x Sin x .

De esto obtendremos lo siguiente:

Ahora, es mejor recordar la fórmula de Tan 2x . Es como sigue:

Sin embargo, si está preparado para el desafío, podría intentar demostrar que Tan 2 x = Sin 2 x / Cos 2 x utilizando la sustitución.

Algunos ejemplos del ángulo doble

El uso de la fórmula de doble ángulo para cada relación trigonométrica puede variar según el resultado deseado. Los principales usos son los siguientes:

1) Demostrar relaciones equivalentes. Por ejemplo,

Relaciones equivalentes

En pocas palabras, todo lo que hicimos en este ejemplo fue realizar sustituciones equivalentes para obtener el resultado deseado.

2) Encontrar el valor exacto de las razones trigonométricas. Por ejemplo:

Si Cos x = 5/13 y Sin x = 12/13, calcule el valor de Sin 2 x

Como Sin 2 x = 2 Sin x Cos x entonces, podemos usar la sustitución para dar:

Pecado 2 x = 2 * 12/13 * 5/13

Sin 2 x = 120/169. Por tanto, Sin 2 x daría aproximadamente 0,71. Conocer esta aproximación puede darnos el valor aproximado del ángulo x .

Resumen de la lección

Tomemos un par de minutos para revisar lo que hemos aprendido sobre el ángulo doble , que está asociado con las tres razones trigonométricas comunes: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan).

La fórmula del ángulo doble es el método para expresar Sin 2x , Cos 2x y Tan 2x en relaciones congruentes entre sí. Usar la fórmula del doble ángulo de las relaciones trigonométricas puede ser tedioso y fácil de usar. Llegar a ser competente en su uso solo se logra con diligencia y práctica. Se utilizan para probar otras relaciones equivalentes y también para encontrar medidas exactas de ángulos. Se resumen aquí, que puede ver son los siguientes: