Cambio de fase: definición y fórmula

Cambio de fase: la analogía de un corredor

Los corredores están alineados al inicio de la carrera. Comenzar precisamente cuando se da la señal de marcha es crucial. Espere, y ya se está quedando atrás del resto. Empiece demasiado pronto y estará por delante del resto, pero podría ser descalificado. Estas ideas están relacionadas con el concepto matemático de cambio de fase . En esta lección, definiremos el cambio de fase y mostraremos cómo se puede determinar mediante una fórmula.

Explorando la idea básica del cambio de fase

Volviendo a la analogía de la carrera, si nuestra corredora estrella espera un segundo antes de comenzar a correr, se está quedando atrás. Digamos que está parado a un lado y observa la carrera. Desde su punto de vista, los corredores corren de izquierda a derecha en la pista. Con una espera de un segundo, el corredor estrella está a la izquierda del grupo. ¿Y si esperaba menos un segundo? Eso significa que habría comenzado por delante del arma. Ahora estaría a la derecha de la manada.

En este caso, el corredor estrella está experimentando un cambio de fase con respecto al paquete. Un cambio de fase a veces se considera un cambio horizontal . Para una función, un desplazamiento horizontal moverá el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha. Este tipo de cambio a veces se denomina transformación . Grafiquemos la función y = x ^ 2, donde x es la variable independiente :

Vemos que esta curva toca el eje x en x = 0. Este es un buen lugar para enfocar nuestra atención mientras cambiamos la curva. Digamos que ahora graficamos y = ( x – 1) ^ 2:

Ese lugar donde la curva toca el eje x se ha desplazado hacia la derecha. ¿Y si quisiéramos un cambio a la izquierda?

¡Eso es correcto! Dejando que nuestra función sea y = ( x + 1) ^ 2 desplazará y = x ^ 2 a la izquierda. Pero al igual que el corredor cuya velocidad también es un factor para determinar el cambio de fase, el cambio de fase de una función puede ser más complicado.

Mayor precisión con el cambio de fase

¿Qué pasa si graficamos y = (2 x – 1)? Intuitivamente, podría pensar que el cambio es hacia la derecha. Eso es correcto, pero el cambio de fase no es una unidad.

La curva se ha vuelto más estrecha porque cada uno de los puntos se transformó. Sin embargo, todavía podemos ver nuestro punto de referencia. ¡El cambio es + ½ y no el +1 que podríamos estar esperando! Aquí hay dos formas de predecir esto:

Primero, podemos pedir el valor de x , donde obtenemos y = 0. Este y = 0 era nuestro punto de referencia en la función original . Luego, resolvemos algebraicamente para x . Esto significa:

Esto es como encontrar el nuevo valor de x en nuestra función transformada que produce el mismo efecto que en nuestra función original. En la función original x = 0 ahora corresponde ax = ½ en la función transformada.

Una segunda forma de determinar este cambio de fase es comenzar con una ecuación general . Nuestra ecuación original tiene la forma y = f ( x ); es decir, y es igual a alguna función de x . Ahora, una forma general de escribir esta ecuación es:

Es decir, en lugar de una función de x , tenemos una función de B veces x plus C . A continuación, se escala esta función mediante la multiplicación por A y compensar el resultado mediante la adición de D . Observará que para A = 1, B = 1, C = 0 y D = 0, obtenemos nuestra ecuación original y = f ( x ).

En nuestro ejemplo de y = (2 x – 1) ^ 2, ¿puedes identificar A , B , C y D ? Son Un = 1, B = 2, C = -1, y D = 0. Aquí está el material de buena: si se puede identificar el B y el C ‘, entonces el cambio de fase es sólo – C / B . Eso significa que en nuestra ecuación y = (2 x – 1) ^ 2, el cambio de fase es:

Hemos tenido un buen comienzo con este concepto de cambio de fase. Y al igual que un corredor, todo lo que necesitamos ahora es práctica.

Resumen de la lección

Un desplazamiento horizontal en una función se denomina desplazamiento de fase . Una forma de determinar el cambio de fase es determinar el valor de la variable independiente x que produce el mismo valor de y en la función antes de que se cambiara. Otra manera de determinar el desplazamiento de fase es organizar la función en una ecuación general : y = A f ( Bx + C ) + D . El desplazamiento de fase está dada entonces por la fórmula : desplazamiento de fase = – C / B .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador