Definición de fractal
En matemáticas, un fractal es un patrón sin fin. Los fractales se construyen repitiendo algo una y otra vez. Puede crear fractales con números o puede crear imágenes fractales. Incluso hay fractales que puedes ver en el mundo natural. Sí, podemos ver las matemáticas en acción en el mundo que nos rodea.
Auto semejanza
Debido a que los fractales repiten algo una y otra vez, la característica definitoria de los fractales es su auto-semejanza.. Esto significa que el objeto es similar o exactamente igual a una parte de sí mismo. Por ejemplo, mire esta imagen. Mirando la imagen completa, ves que tienes lo que llamamos cinco pétalos rodeando un centro. Ahora, mira cada pétalo. Cada pétalo es la imagen completa en miniatura. Cada uno de estos pétalos tiene cinco mini pétalos que rodean su propio centro. Cada uno de estos mini pétalos es nuevamente la imagen completa. Pero esta vez, los mini pétalos son una versión más pequeña de toda la imagen. Este es un fractal, porque un patrón se repite en los pétalos una y otra vez. El patrón se vuelve más pequeño cada vez. Se puede decir que el patrón de un fractal se repite internamente una y otra vez. Lo mismo en la imagen se reemplaza por la misma imagen. En este caso, la imagen que se reemplaza son los cinco pétalos que rodean un centro. Cada pétalo se reemplaza con la misma imagen. Sí, podemos volvernos infinitamente pequeños con estos reemplazos. Puede tomar casi cualquier cosa y repetirla internamente para obtener un fractal. Mira estos otros ejemplos de fractales. Curiosamente, estos fractales tienen nombres especiales. En orden desde arriba, tenemos la isla Gosper, el copo de nieve de Koch y el fractal de caja. Puedes ver cómo hacen crecer el fractal repitiendo la misma forma una y otra vez.
En la isla Gosper , la forma que se repite es el trapezoide; esa es la mitad superior del hexágono. Mira el hexágono ahora. Corta la mitad superior. Ahora, toma esta mitad superior y encoge su tamaño de modo que la parte inferior sea un tercio de la longitud de la parte superior del hexágono original. Ahora, coloque este medio hexágono en el medio de la parte superior del hexágono y en cada lado del hexágono original. Ahora tienes la segunda imagen de la serie. A continuación, toma el mismo medio hexágono y vuelve a reducir su tamaño. Ahora, agregue este medio hexágono a la línea superior de la segunda imagen y a la línea a la izquierda de la línea superior, y repita esto para cada bulto en la segunda imagen de la serie. Ahora tienes la tercera imagen de la serie. Ahora, sigue repitiendo este patrón una y otra vez y tienes la isla Gosper.
En el copo de nieve de Koch , es el triángulo el que se repite. Es muy similar a la isla Gosper, excepto que todo nuestro triángulo es lo que se repite. Esta vez nuestro triángulo se encoge en cada etapa y se coloca en el medio de cada lado de la nueva imagen de la serie. Esto sigue repitiéndose y obtienes el copo de nieve de Koch.
En el cuadro fractal , es un cuadrado. En lugar de agregar el cuadrado a cada lado de la nueva imagen, el fractal de caja tiene cada cuadrado negro dividido en una cuadrícula de 3 x 3 de mosaicos blancos y negros. Cada vez que vea un cuadro negro, lo reemplace con la cuadrícula de 3 x 3 de mosaicos en blanco y negro. Este es el fractal de caja.
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Fracción fractal
No solo puedes crear fractales con imágenes, como la que acabamos de ver, también puedes crear fractales a partir de números. Por ejemplo, podemos crear una fracción muy complicada repitiendo un mismo patrón. Comencemos con el número 2. Podemos reescribir el 2 como 4/2. A continuación, podemos reescribir el 4/2 como 3/2 + 1/2. Entonces, nuestro 2 ahora es igual a 3/2 + 1/2. Ahora podemos usar esta ecuación como nuestro patrón interminable. Siempre que veamos un 2, lo reemplazaremos por 3/2 + 1/2. Hagamos esto durante dos rondas y veamos qué obtenemos. ¡Guauu! ¡Mira eso! Todo en el lado derecho de la ecuación es solo 2 escrito en forma fractal. Solo hicimos dos rondas con él. ¿Te imaginas lo que obtendrías si participaras en las rondas tres y cuatro? Esto se llama fracción fractal. Como puede ver, tomamos nuestro patrón y lo seguimos repitiendo. Seguimos sustituyendo el 2 con 3/2 + 1/2. Como puede ver, podemos seguir haciendo esto indefinidamente. Sin embargo, terminaríamos con una pesadilla de una fracción para escribir. Curiosamente, existen programas de fractales que se basan en la forma matemática de los fractales para producir algunas imágenes muy interesantes.
Fractales en la naturaleza
Ahora hemos visto fractales en imágenes y fracciones. Veamos uno en la vida real. Mira este brócoli. Lo crea o no, este es un brócoli real que puede comprar y comer. Se llama brócoli romanesco. Se ve bastante bien y es un muy buen ejemplo de fractal natural. ¿Puedes ver que cada pequeño cono se parece al brócoli entero? Sí, este brócoli es un ejemplo de auto semejanza.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. En matemáticas, un fractal es un patrón sin fin. Debido a que los fractales repiten algo una y otra vez, la característica definitoria de los fractales es su auto-semejanza . Esto significa que el objeto es similar o exactamente igual a una parte de sí mismo. Podemos crear imágenes fractales y fracciones fractales. También hay seres vivos que muestran fractales en funcionamiento.
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