Funciones trigonométricas inversas: definición y problemas

Definición de funciones trigonométricas inversas

Toda función matemática, desde la más simple hasta la más compleja, tiene una inversa. En matemáticas, inverso generalmente significa opuesto. Para la suma, la inversa es la resta. Para la multiplicación, es división. Y para las funciones trigonométricas, son las funciones trigonométricas inversas.

Las funciones trigonométricas son las funciones de un ángulo. El término función se utiliza para describir la relación entre dos conjuntos de números o variables. En las matemáticas modernas, hay seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. La inversa de estas funciones son seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, secante inversa, cosecante inversa y cotangente inversa.

Relaciones trigonométricas

Todas las funciones trigonométricas se pueden definir como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Dado que todos los triángulos rectángulos se ajustan al Teorema de Pitágoras, siempre que los ángulos de dos triángulos rectángulos sean iguales, sus lados serán proporcionales. Debido a esto, las proporciones de un lado a otro siempre serán las mismas. Echale un vistazo a éste ejemplo.

Estos triángulos tienen las mismas medidas de ángulos, por lo que sus lados son proporcionales. Cualquier proporción de un lado a otro será la misma para ambos triángulos.

6/10 = 3/5

Al descubrir que estas proporciones son las mismas para cualquier triángulo rectángulo (siempre que tengan la misma medida de ángulo), se descubrieron las funciones trigonométricas. Estas funciones relacionan un ángulo de un triángulo con la razón de dos de sus lados.

Debido a estas razones, cuando se conoce un ángulo (que no sea el ángulo recto) de un triángulo rectángulo y al menos un lado, puede determinar la longitud de los otros lados usando estas razones. E inversamente, cuando se conocen las longitudes de dos lados, se puede determinar la medida del ángulo.

Dado que memorizar estas proporciones puede resultar difícil, hay un mnemotécnico que ayuda a mantenerlas en orden. SOH CAH TOA es un dispositivo útil para recordar qué proporción va con qué función.

Seno = opuesto / hipotenusa

Coseno = adyacente / hipotenusa

Tangente = Opuesto / Adyacente

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas se utilizan para determinar la medida del ángulo cuando se conocen al menos dos lados de un triángulo rectángulo. La función particular que debe utilizarse depende de qué dos lados se conozcan. Por ejemplo, si conoce la hipotenusa y el lado opuesto al ángulo en cuestión, podría usar la función de seno inverso. Si conoce el lado opuesto y el lado adyacente al ángulo en cuestión, la tangente inversa es la función que necesita.

Hay dos métodos para determinar una función trigonométrica inversa. La primera es usar una tabla que contenga todos los resultados para cada razón. Puede resultar tedioso y engorroso. El otro está usando una calculadora científica. Las funciones inversas para el seno, el coseno y la tangente se pueden determinar rápidamente.

Estas funciones inversas tienen usos prácticos en navegación, física, ingeniería y otras ciencias.

Problemas de ejemplo

1.) Resuelve para ‘x’.

Como conocemos el lado opuesto al ángulo ‘x’ y la hipotenusa, podemos usar la función de seno inverso para determinar la medida del ángulo de ‘x’.

sin’x ‘= opuesto / hipotenusa

sin’x ‘= 8/11

sin’x ‘= 0,73

x = 47 °

2.) Resuelve para ‘x’.

Para este problema, conocemos los lados opuestos y adyacentes al ángulo en cuestión. Esta vez usaremos la tangente inversa para resolver la medida del ángulo.

tan’x ‘= opuesto / adyacente

tan’x ‘= 7/5

tan’x ‘= 1,4

‘x’ = 54 °

3.) Conduce 24 millas cuesta arriba, y en esa distancia recorre solo 6 millas horizontales. ¿En qué ángulo de inclinación asciende (ángulo ‘x’)?

Esta vez, usarás la inversa de la función coseno ya que conoces el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa.

cos’x ‘= adyacente / hipotenusa

cos’x ‘= 6/24

cos’x ‘= 0,25

‘x’ = 76 °

Resumen de la lección

Las funciones trigonométricas inversas realizan las operaciones opuestas a las que realizan el seno, el coseno, la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente. Se utilizan para encontrar la medida de un ángulo en un triángulo rectángulo cuando se conocen dos de las tres longitudes de los lados. Las funciones trigonométricas inversas son útiles en ingeniería, navegación, construcción y otros campos científicos.

Lección de un vistazo

En matemáticas, siempre hay una forma de calcular el opuesto de una operación o una inversa. Para las funciones trigonométricas, lo opuesto son las funciones trigonométricas inversas. Cuando se conocen dos de las tres longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se usa la función trigonométrica inversa para encontrar la medida de un ángulo.

Los resultados del aprendizaje

Como medida de su comprensión de la lección:

• Enumere las seis funciones trigonométricas básicas
• Indique la razón por la que las razones trigonométricas de un lado a otro siempre serán las mismas
• Utilice SOH CAH TOA para recordar qué proporción va con qué función
• Calcular las razones de los lados de un triángulo rectángulo usando la función trigonométrica inversa