Resolver triángulos rectángulos usando razones trigonométricas inversas

Resolver triángulos rectángulos

La clásica hamburguesa: ¡una maravilla de la cocina eficiente! En un sándwich compacto tenemos todos los grupos de alimentos básicos. Carne (o soja), cereales, verduras… ¿Falta algo? ¿Qué tal los lácteos? ¿Qué tal la fruta? Si nos dan una hamburguesa, ¿podemos identificar lo que tenemos y luego encontrar las partes que faltan? ¡Por supuesto! Y podemos hacer lo mismo con los triángulos rectángulos. Aunque los triángulos rectángulos pueden no ser tan sabrosos.

En esta lección resolveremos triángulos rectángulos , lo que significa determinar todas las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos. Por lo general, esto implica una combinación del teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y razones trigonométricas inversas. Aquí, nos centraremos en el uso de razones trigonométricas inversas. Primero, repasaremos algunos conceptos básicos de los triángulos. Luego, definiremos las funciones trigonométricas inversas y mostraremos cómo usarlas en dos casos. También podríamos resolver la hamburguesa.

Triángulos rectángulos: conceptos básicos

Antes de comenzar a resolver problemas, repasemos algunos datos útiles y terminología sobre los triángulos rectángulos.

• Primero, por definición, sabemos que un triángulo rectángulo tiene tres ángulos interiores, uno de los cuales es recto o 90º.

• También sabemos que un triángulo rectángulo consta de tres lados. El lado al lado de un ángulo dado se llama adyacente a ese ángulo. El lado opuesto a un ángulo dado se llama opuesto . El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa . Los otros dos lados se llaman piernas .

• Podemos relacionar las longitudes de estos lados usando el teorema de Pitágoras , lo que significa que si cuadramos la longitud de cada cateto y sumamos esos valores, obtenemos la longitud de la hipotenusa al cuadrado.

• Por último, tenemos nuestras tres razones trigonométricas principales: seno (opuesto / hipotenusa), coseno (adyacente / hipotenusa) y tangente (opuesto / adyacente).

Usando estos hechos, ¿qué afirmaciones podemos hacer sobre el triángulo rectángulo genérico que se muestra a continuación?

Este es un triángulo rectángulo porque contiene un ángulo recto

Aquí hay unos ejemplos:

• El ángulo opuesto al lado c es un ángulo recto

• El lado c es la hipotenusa

• a 2 + b 2 = c 2

• El lado a es el ángulo opuesto α y adyacente al ángulo β

• El lado b es el ángulo opuesto β y adyacente al ángulo α

• Sin (α) = a / c, cos (α) = b / c, tan (α) = a / b

• Sin (β) = b / c, cos (β) = a / c, tan (β) = b / a

¿Necesitamos toda esta información para resolver triángulos? Tal vez tal vez no. Para averiguarlo, hagamos algunos ejemplos en los que se nos dan las longitudes de dos lados. ¿Papas fritas y aros de cebolla? No, no ese tipo de lado.

Resolver un triángulo rectángulo dadas las longitudes de dos lados (las piernas)

Digamos que se nos da la longitud de dos catetos de un triángulo rectángulo. ¿Cómo resolvemos el triángulo usando razones trigonométricas inversas?

Triángulo rectángulo dados dos lados

¿Razones trigonométricas inversas dices?

Si sen (α) = 0.894, entonces α es ‘un ángulo cuyo seno es 0.894’. La forma corta de escribir ‘un ángulo cuyo seno es 0.894’ es arcsin (0.894). También podemos escribir arcsin como sen -1 . Esta es la función inversa del seno. ¡Pero ten cuidado! Estamos usando -1 para denotar una función inversa, NO una recíproca. Entonces, sin -1 (0.894) no significa el recíproco de sin (0.894), que se escribiría como sin (0.894) -1 . Tenga en cuenta la ubicación del -1 . La mayoría de las calculadoras tienen botones para sen -1 , cos -1 y tan -1 . Por lo tanto, las calculadoras pueden utilizar las respuestas para arcsin , arccos yarctan . En nuestros ejemplos, los ángulos se describen como una cantidad de grados, así que asegúrese de configurar su calculadora en grados.

En este ejemplo, no tenemos un valor para la hipotenusa. Por lo tanto, las funciones seno y coseno no son las mejores opciones. Lo que sí tenemos son los lados opuesto y adyacente de los ángulos α y β. Por lo tanto, tiene más sentido utilizar la tangente. Al conectar nuestros valores dados, obtenemos:

tan (α) = a / b = 10/5 = 2. Entonces, α = tan -1 (2) = 63.4º (usando una calculadora).

Y para el otro ángulo:

tan (β) = b / a = 5/10 = 0.5. Entonces, β = tan -1 (0.5) = 26.6º (nuevamente, usando una calculadora).

Resolver un triángulo rectángulo dadas las longitudes de dos lados (la hipotenusa y un cateto)

Digamos que nuevamente se nos da la longitud de dos lados, pero esta vez uno de los lados es la hipotenusa. ¿Cómo resolvemos el triángulo usando razones trigonométricas inversas?

Triángulo rectángulo dada hipotenusa y un cateto

Ahora que tenemos la hipotenusa más un cateto, tiene más sentido usar seno y coseno:

Sin (α) = opuesto / hipotenusa = 10 / 11.18. Entonces, α = sin -1 (10 / 11.18) = 63.4º.

Cos (β) = adyacente / hipotenusa = 10 / 11.18. Entonces, β = cos -1 (10 / 11.18) = 26.6º.

¿Y el tercer lado? Las funciones trigonométricas inversas nos dan ángulos, pero aún necesitamos una longitud de tercer lado en estos ejemplos de triángulos para completar la solución. Para resolver el resto del triángulo, podríamos usar el teorema de Pitágoras o una razón trigonométrica apropiada. Y para resolver la hamburguesa podríamos sujetar las patatas fritas y usar un lado de arándanos y un vaso de leche.

Resumen de la lección

Resolver un triángulo significa hallar los valores de todos los ángulos y lados interiores. Qué estrategia usar depende de lo que sepamos sobre un triángulo dado. Para un triángulo rectángulo , uno de los ángulos es un ángulo recto de 90º. Si conocemos el valor de dos lados, podemos usar razones trigonométricas inversas como arcsin , arccos o arctan para encontrar ángulos. El lado adyacente es el lado al lado de un ángulo dado, el lado opuesto es el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Teorema de Pitágoraso también se puede usar una de las razones trigonométricas para encontrar un tercer lado. Las tres razones trigonométricas principales son seno (opuesto / hipotenusa), coseno (adyacente / hipotenusa) y tangente (opuesto / adyacente).