Cómo racionalizar el denominador con una expresión radical

Un denominador irracional

¿En qué piensas cuando escuchas la palabra irracional? Pienso en cosas que no tienen sentido. Es como un amigo mío contándome esta historia en la que vio a un personaje de dibujos animados azul gigante caminar por el pasillo de la tienda de comestibles. Sé que eso no tiene sentido. Bueno, en matemáticas, un denominador irracional es similar porque tiene un radical en el denominador, lo que no tiene sentido en una fracción. En matemáticas, las fracciones siempre deben tener un número en el denominador. No debería tener radicales en ellos. Recuerda que los radicales son los números dentro del símbolo que también se usan en la raíz cuadrada. La raíz cuadrada es un radical con un índice de 2. Debido a que las fracciones no deben tener radicales en el denominador, siempre que vemos un radical en el denominador racionalizamos el denominador., o mueva el radical al numerador. Está perfectamente bien que una fracción tenga un radical en el numerador.

Cómo racionalizar el denominador

¿Cómo racionalizamos el denominador? Si nuestro denominador solo tiene un radical, para mover este radical al numerador, multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo radical.

Sin embargo, si nuestro denominador tiene otro número más o menos un radical, entonces necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo denominador pero con el signo opuesto entre los dos términos. A esto lo llamamos multiplicar por el conjugado.

Veamos un ejemplo de cada uno ahora.

Ejemplo 1

En este primer ejemplo, tenemos un denominador con un solo radical.

Tener este radical en el denominador hace que nuestra fracción no tenga sentido, por lo que debemos moverla al numerador. Debido a que este es un solo radical en el denominador, podemos moverlo al numerador simplemente multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo radical. Entonces, multiplicamos por la raíz cuadrada de 3 en el numerador y el denominador. Obtenemos 2 veces la raíz cuadrada de 3 en el numerador, y obtenemos un bonito y simple 3 en el denominador. Ah, ahora nuestra fracción tiene sentido. Hemos racionalizado nuestro denominador. Como no podemos simplificar más la raíz cuadrada de 3, dejamos el numerador como 2 veces la raíz cuadrada de 3.

Ejemplo 2

Ahora, ¿qué pasa si tenemos otro número más o menos nuestro radical en el denominador?

¿Que hacemos ahora? Aquí es donde multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Tomamos nuestro denominador y lo reescribimos con el signo opuesto entre los dos términos. Entonces estamos multiplicando por 5 más la raíz cuadrada. Observe que en lugar de menos, ahora tenemos un más.

Ahora, continuamos y multiplicamos tanto el numerador como el denominador. Usamos lo que sabemos sobre la distribución de nuestros números y simplificamos.

Cuando multiplicamos por nuestro conjugado, terminamos moviendo nuestro radical. Requiere un poco más de matemáticas, pero terminamos con una fracción que tiene sentido. También hemos racionalizado nuestro denominador en este caso.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que un denominador irracional es una fracción con un radical en el denominador. Cuando vemos esto, necesitamos mover el radical al numerador porque, en matemáticas, un radical en el denominador no tiene sentido. Llamamos a mover el radical al numerador racionalizar el denominador . Si tenemos un solo radical en el denominador, lo movemos al numerador simplemente multiplicando el numerador y el denominador por el mismo radical. Pero, si tenemos otro número más o menos un radical, entonces necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado, que es el denominador pero con el signo entre los dos términos opuestos.

Resultado de aprendizaje

Al final de esta lección, podrá racionalizar el denominador de una fracción en una expresión radical.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador