Cómo resolver una ecuación racional

Ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación que contiene fracciones con x s en el numerador , denominador o ambos. Aquí hay un ejemplo de una ecuación racional: (4 / ( x + 1)) – (3 / ( x – 1)) = -2 / ( x ^ 2 – 1).

Pensemos por un momento en cómo resolver una ecuación con una fracción. 1/3 x = 8. Pensamos que el 3 en el denominador es un prisionero y queremos liberarlo. Para liberar el 3, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3. Piense en ello como 3, dejando que ambos lados de la ecuación sepan que se va. 3 (1/3 x ) = 8 (3).

Este proceso liberó nuestro denominador y eliminó la fracción – x = 24. También es el proceso que usamos para resolver ecuaciones racionales con un paso adicional. En ecuaciones racionales, a veces nuestra solución puede verse bien, pero llevan un virus; es decir, no funcionarán en nuestra ecuación. Estos se llaman soluciones extrañas. Los pasos para resolver una ecuación racional son:

1. Encuentra el denominador común.
2. Multiplica todo por el denominador común.
3. Simplificar.
4. Verifique la (s) respuesta (s) para asegurarse de que no haya una solución extraña.

Resolvamos un par juntos.

Ejemplo 1

Ejemplo número uno: resolver. Recuerde buscar soluciones extrañas. (3 / ( x + 3)) + (4 / ( x – 2)) = 2 / ( x + 3).

Nuestro primer paso es averiguar los términos que deben liberarse de los denominadores . Miro 3 / ( x + 3). Escribo ( x + 3) como uno de mis denominadores comunes . Miro 4 / ( x – 2). Escribo ( x – 2) como otra parte de mi denominador común. Miro 2 / ( x + 3). Como ya tengo ( x + 3) escrito en mi denominador, no necesito duplicarlo.

Luego, multiplicamos todo por nuestro denominador común – ( x +3) ( x -2). Así es como se verá: ((3 ( x + 3) ( x – 2)) / ( x + 3)) + ((4 ( x + 3) ( x – 2)) / ( x – 2)) = (2 ( x + 3) ( x – 2)) / ( x + 3))

No es fácil liberar los denominadores; hay una batalla, y los términos similares en el numerador y denominador se cancelan (o se cortan). Barra diagonal (o cancele) todos los ( x + 3) sy ( x – 2) s en el denominador y el numerador. Nuestra nueva ecuación se ve así: 3 ( x – 2) + 4 ( x + 3) = 2 ( x – 2).

En el ejemplo # 1, el primer paso es encontrar el denominador común.

Distribuye para simplificar: (3 x – 6) + (4 x + 12) = 2 x – 4. Reúne términos semejantes y resuelve. 3 x + 4 x = 7 x , -6 + 12 = 6. Terminamos con 7 x + 6 = 2 x – 4.

Resta 2 x de ambos lados: 7 x – 2 x = 5 x . Restar del otro lado simplemente cancela el 2 x , y obtenemos 5 x + 6 = -4. Resta 6 de ambos lados: -4 – 6 = -10. Nuevamente, restar 6 cancelará el +6, por lo que terminamos con 5 x = – 10. Dividimos por 5 en ambos lados, y cancelamos el 5 y nos da x = – 2. Resulta x = – 2 .

La razón por la que comprobamos nuestras respuestas es que a veces tenemos un virus o, en términos matemáticos, soluciones extrañas. Para comprobarlo, reemplazo todas las x s con -2: (3 / (-2 + 3)) + (4 / (-2-2)) = (2 / (-2 + 3)). Simplifiquemos: (3/1) + (4 / -4) = (2/1). Dado que 3 + -1 = 2 es cierto, ¡ x = – 2 es la solución!

Ejemplo # 2

Ejemplo número dos: resolver. Recuerde buscar soluciones extrañas. (4 / ( x + 1)) – (3 / ( x – 1)) = -2 / ( x ^ 2 – 1).

Primero tenemos que liberar nuestros denominadores. Para liberar nuestros denominadores, anotamos cada denominador que vemos. He descubierto que la forma más fácil de hacer esto es primero factorizar, si es necesario, y luego enumerar los factores. x ^ 2 – 1 = ( x + 1) ( x – 1).

Nuestra nueva ecuación se ve así: (4 / ( x + 1)) – (3 / ( x – 1)) = -2 / ( x + 1) ( x – 1).

Miro 4 / ( x + 1). Escribo ( x + 1) como uno de mis denominadores comunes. Miro 3 / ( x – 1). Escribo ( x – 1) como otra parte de mi denominador común. Miro -2 / ( x + 1) ( x – 1). Como ya los tengo escritos en mi denominador, no necesito duplicarlos. Entonces, mi denominador común resulta ser ( x + 1) ( x – 1).

Kathryn, ¿por qué no estamos usando los factores de x ^ 2 – 1? ¡Gran pregunta! Ya tenemos ( x + 1) y ( x – 1) siendo liberados. No es necesario que lo hagamos dos veces.

Ahora multiplicamos cada parte de la ecuación por el denominador común – ( x + 1) ( x – 1). Piense en esto como la llave de la prisión: (4 ( x + 1) ( x -1) / ( x + 1)) – (3 ( x + 1) ( x – 1) / ( x – 1)) = -2 ( x + 1) ( x – 1) / ( x + 1) ( x – 1).

No es fácil liberar los denominadores; hay una batalla y los términos similares se cancelan (o se reducen). Barra (o cancele) todos los ( x + 1) sy ( x – 1) s en el denominador y el numerador. Esto nos deja con 4 ( x – 1) – 3 ( x + 1) = -2.

Los términos similares se cancelan o se reducen en el segundo ejemplo.

Ahora necesitamos resolver para x . Distribuye 4 en ( x – 1) y -3 en ( x + 1). (4 x – 4) – (3 x – 3) = -2. Reúna términos semejantes: x – 7 = – 2. Sume 7 a ambos lados del signo igual: x = 5.

Parece que nuestra respuesta es 5, pero debemos verificarlo. Reemplazo todas las x con 5 y simplifico. Resulta que 5 funcionan y es la solución a nuestra ecuación. ¡Y así nuestra solución comprueba!

Resumen de la lección

Los pasos para resolver una ecuación racional son:

1. Encuentra el denominador común.
2. Multiplica todo por el denominador común.
3. Simplificar.
4. Verifique la (s) respuesta (s) para asegurarse de que no haya una solución extraña.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador