Comparación de funciones lineales y exponenciales

Ganar dinero

Tus padres te dicen que te darán diez dólares al día durante el resto del año o te darán un centavo y lo duplicarán el resto del año. ¡Tú decides! Hmmm … un centavo suena como nada, así que decides optar por la primera opción. Uh oh … ¡gran error!

Obtener diez dólares al día durante el resto del año es un ejemplo de función lineal. Las funciones lineales son funciones en las que la tasa de cambio es constante. Debido a que recibe la misma cantidad de dinero todos los días, su cambio de dinero es el mismo.

Duplicar su centavo inicial todos los días es un ejemplo de una función exponencial. Las funciones exponenciales son funciones en las que la tasa de cambio no es constante (no sumando los mismos diez dólares cada día, en otras palabras). En este caso, la tasa de cambio aumenta cada vez porque obtiene más dinero cada día (duplicando su dinero). Las funciones exponenciales aumentan en el mismo porcentaje cada vez. En su caso, su dinero aumenta en un 100% cada día.

¿Por qué cometiste un error? Debido a que el dinero se está duplicando, aumentará muy rápido. Puede parecer lento al principio. Después del primer día, solo tienes 2 centavos; después del día cinco, solo tienes 32 centavos; pero después del día 30, ¡ya tiene $ 10,737,418.24! Compare eso con recibir diez dólares al día y para el día 30, solo tiene $ 300.

Cambio constante

Entonces, ¿cuál es esta tasa de cambio empresarial? Cuando hablamos de funciones o gráficos, pensamos en la tasa de cambio como el movimiento en y versus el movimiento en x . Cuando decimos que una función tiene un cambio constante, estamos diciendo que cuando nos movemos una unidad en la dirección x , siempre nos moveremos la misma distancia en la dirección y . En otras palabras, si movemos una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba, necesitamos seguir moviendo dos unidades hacia arriba cada vez que movemos una unidad hacia la derecha.

Es posible que conozca esto como la pendiente de una línea o función lineal. La pendiente es simplemente el cambio en y dividido por el cambio en x . Para que una función tenga una línea recta, debe tener una tasa de cambio constante y una pendiente. Esto la convierte en una función lineal.

Puede ver una tasa de cambio constante con la función y = 3 x + 1. Cada vez que x aumenta en uno, y aumenta en tres. La misma cantidad se suma ay cada vez que x cambia en uno. La pendiente será igual al cambio en y sobre el cambio en x , que es 3/1 o 3. Esto significa que la función lineal se representará como una línea recta.

Ejemplo 1: función lineal

Cambio porcentual

Cuando observa la función y = 3 x , puede ver que los valores de y no aumentan cuando se agrega un número constante, por lo tanto, no es una función lineal. Es una función exponencial porque los valores de y aumentan exponencialmente. En lugar de sumar el mismo número a los valores de y , aumentamos los valores de y en el mismo porcentaje cada vez. En otras palabras, estamos multiplicando los valores de y por el mismo número.

Con funciones exponenciales, no usamos pendiente, sino cambio porcentual , o cómo una variable aumenta o disminuye. Usamos el cambio porcentual con funciones exponenciales porque los valores de y aumentan o disminuyen en un cierto porcentaje para cada cambio en x . Suena como el cambio constante de antes, pero recuerde que los cambios constantes deben provenir de AGREGAR el mismo número ay .

En nuestro ejemplo de y = 3 x , el cambio porcentual es 200%. Esto se puede calcular restando dos Y valores y dividiendo por el original o menor y valor. En nuestro caso, podemos restar 9 y 3 para obtener 6, luego dividir por el 3 más pequeño para obtener 2. Multiplicamos este 2 por 100 para obtener nuestro cambio porcentual del 200%. La media cada vez que x aumenta en 1 unidad, y aumenta en un 200%. Este es un crecimiento exponencial. Esto se representará como una línea curva, en lugar de una línea recta.

Ejemplo 2: función exponencial

Exponencial frente a lineal

Puedes reconocer funciones exponenciales y lineales por su gráfica. Las funciones lineales son líneas rectas, mientras que las funciones exponenciales son líneas curvas.

Gráficos de una función lineal (en rojo) y una función exponencial (en azul)

También puede reconocerlos por el cambio en y . Si se suma el mismo número ay , entonces la función tiene un cambio constante y es lineal. Si el valor de y aumenta o disminuye en un cierto porcentaje, entonces la función es exponencial. Debido a estas diferencias, las funciones exponenciales aumentarán o disminuirán mucho más rápido que las funciones lineales, por lo que fue inteligente duplicar ese centavo.

Otra forma de diferenciar entre los dos es mirando la fórmula de la función en sí. Las funciones lineales suelen tener la forma y = mx + b . Lo importante a tener en cuenta aquí es que x se multiplica por m (la pendiente), lo que hace que el cambio sea constante. En el ejemplo de y = 3 x + 1, la pendiente era 3 y por eso se introdujo para el valor m .

Las funciones exponenciales suelen tener la forma y = (1 + r ) x . La x será el exponente aquí y r es el cambio porcentual como decimal. En el ejemplo y = 3 x , 3 es igual a 1 + r . Esto tiene sentido porque nuestro cambio porcentual fue del 200%. Cuando escribimos eso en forma decimal, es igual a 2. Por lo tanto, obtenemos y = (1 + 2) x , o y = 3 x .

Resumen de la lección

Dediquemos unos momentos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección sobre la comparación de funciones exponenciales con funciones lineales.

Aprendimos que las funciones lineales son funciones en las que el rango de cambio es constante, mientras que las funciones exponenciales son funciones en las que la tasa de cambio no es constante, en las que usamos un cambio porcentual , que es el grado en que una variable aumenta o disminuye. . Las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas, mientras que las funciones exponenciales son curvas. Las funciones lineales suelen tener la forma y = mx + b , que se utiliza para descubrir la pendiente , o simplemente el cambio en y dividido por el cambio en x, mientras que las funciones exponenciales suelen tener la forma y = (1 + r ) x .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador