Comparación de gráficos de funciones cuadráticas y lineales

Puentes

¿Habías visto un puente antes? Son ejemplos perfectos de gráficos del mundo real de funciones lineales y cuadráticas. Un puente que pasa directamente de un lugar a otro representaría una función lineal. Tiene que ser bonito y plano para ser lineal. Un puente con un arco curvo como una colina representaría una función cuadrática (piense en una forma de U invertida).

Las funciones lineales suelen tener la forma y = mx + b, donde m representa la pendiente o la tasa de cambio y b es la intersección con el eje y . Las funciones lineales se grafican como líneas rectas porque la variable x no se eleva a ningún exponente. Son como el puente plano.

Puente lineal

Las funciones cuadráticas suelen tener la forma y = ax 2 + bx + c . Las funciones cuadráticas siempre tendrán la variable x elevada a la segunda potencia. En otras palabras, la x se eleva al cuadrado. Esto lo convierte en una parábola , que es una gráfica curva simétrica.

Puente cuadrático

Gráficos principales

Las funciones principales son la forma más básica de una función con coeficientes de 1 o 0. Todas las demás gráficas son solo transformaciones de estas gráficas principales. El gráfico principal de una función lineal es simplemente y = x . En esta función principal, m es igual a 1 y b es igual a 0. Esto está representado en rojo en la imagen.

La gráfica principal de la función cuadrática es y = x 2 . Aquí, una es igual a 1, mientras que b y c son iguales a 0. Esto se representa gráficamente en azul en la imagen. La diferencia de forma entre estas dos funciones principales es bastante grande. Nuevamente, la función lineal es recta, mientras que la cuadrática es curva.

Gráficos principales

Ejemplos

No importa qué números se inserten para los coeficientes, las gráficas siempre tendrán las mismas formas básicas. En la siguiente imagen, puede ver gráficos para y = -4 x – 1 en rojo e y = -4 x 2 + 6 x + 4 en azul. El gráfico lineal se invierte debido al valor negativo de m , y el gráfico cuadrático está al revés debido al valor negativo de a . Pero, en general, los dos gráficos son solo variaciones del gráfico principal, pero simplemente transformados de alguna manera.

Ejemplos de gráficos lineales y cuadráticos

Cómo graficar una función lineal

Ahora que hemos visto las diferencias entre las formas de la gráfica, hablemos sobre cómo podemos realmente graficarlas. Al graficar una función lineal, es una buena idea comenzar con la intersección y , que es el punto donde la gráfica cruza el eje y vertical . Cuando tenga una función lineal en la forma de y = mx + b , use el valor b para averiguar dónde la gráfica cruza el eje vertical. En el ejemplo de y = -4 x – 1, el valor b es igual a -1. Esto significa que la gráfica cruza el eje y en -1. Ese punto equivaldría a (0, -1). Por tanto, podemos poner un punto ahí.

A continuación, podemos usar la pendiente, o el valor m , para encontrar otro punto. El valor de m está justo delante de la x . En nuestro ejemplo, la pendiente es -4. Esto significa que nuestro siguiente punto estará 4 casillas abajo y 1 casilla a la derecha desde la intersección con el eje y . Esto se graficará como (1, -5). Una vez que tenemos dos puntos, simplemente podemos trazar una línea a través de ellos y más allá.

Graficar una función lineal

Cómo graficar una función cuadrática

Con funciones cuadráticas, el mejor lugar para comenzar es con el punto máximo o mínimo en el vértice del gráfico , que es el lugar donde el gráfico se curva, como el punto más alto del puente. Usa la siguiente fórmula para encontrar el valor x de ese punto: x = – b / 2 a . Una vez que encuentre el valor de x , conéctelo a la función para encontrar el valor de y .

En nuestro ejemplo de y = -4 x 2 + 6 x + 4, a es igual a -4 y b es igual a 6. Por lo tanto, x es igual a – (6) / 2 (-4) que se simplifica a -6 / -8 y 3/4. Por lo tanto, el valor x de nuestro vértice es 3/4 o 0,75. Podemos conectar esto a la función para encontrar el valor de y . Cuando hacemos eso, obtenemos y = -4 (0,75) 2 + 6 (0,75) + 4. Esto se simplifica a 6,25. Así, las coordenadas de nuestro vértice son (0,75, 6,25) que es un punto máximo, ya que la gráfica está mirando hacia abajo.

Desde aquí, puede insertar algunos valores de x diferentes y hacer una tabla o encontrar sus intercepciones x . Dado que las intersecciones con x son bastante sencillas aquí, encontremos esas. Podemos factorizar esto fácilmente sacando primero un -2 para obtener y = (-2) 2 x 2 – 3 x – 2. Una vez que hacemos esto, podemos factorizar el resto para obtener (-2) (2 x + 1 ) ( x – 2). Para obtener las intersecciones, iguale los factores a 0 y resuelva para x . Cuando se hace esto, xes igual a -1/2 y 2. Estas son nuestras intersecciones y se pueden escribir como las coordenadas (-0.5, 0) y (2, 0). Estos están trazados en la imagen en violeta y naranja.

Graficar una función cuadrática

Luego podemos trazar los tres puntos y trazar una bonita línea curva entre ellos para terminar nuestro gráfico. Nuestra línea curva se ha dibujado en azul y se extiende más allá de las intersecciones x .

Resumen de la lección

Las funciones lineales suelen tener la forma y = mx + by se representan gráficamente como líneas rectas. Para dibujar un gráfico lineal, comience con la intersección y o el valor b , luego use la pendiente para encontrar un segundo punto. Las funciones cuadráticas suelen tener la forma y = ax 2 + bx + cy se representan gráficamente como parábolas curvas. Para dibujar estas gráficas, comience por encontrar el punto x del vértice usando la fórmula, luego sustitúyalo para encontrar el valor y . Una vez que tenga ese punto, puede hacer una tabla o encontrar la x intercepta.