Comparación de transformaciones de funciones

Comparación de transformaciones de funciones

Suponga que está sentado en clase y el maestro le pide que grafique la función f ( x ) = x 2 . ¡No hay problema! Preparas el gráfico en un par de minutos.

Ahora, el maestro le pide que grafique la función g ( x ) = x 2 + 3. ¿Adivina qué? ¡No tienes que empezar de nuevo!

Verá, g ( x ) = x 2 + 3 es lo que llamamos una transformación de la función f ( x ) = x 2 . Las transformaciones de funciones son operaciones algebraicas en una función que corresponden a mover o cambiar el tamaño de la gráfica de la función. Hay cuatro tipos de transformaciones: cambios horizontales, estiramiento / contracción, reflejos y cambios verticales.

Observa tus funciones f ( x ) y g ( x ) nuevamente. ¿Reconoce qué tipo de transformación tiene lugar para pasar de f ( x ) a g ( x )? Bueno, agregamos 3 a toda la función, f , para obtener g . Por lo tanto, este es un cambio vertical. En otras palabras, podemos graficar g ( x ) desplazando la gráfica de f ( x ) hacia arriba 3 unidades.

Bueno, ¡fue mucho más fácil que empezar de nuevo!

Este fue un ejemplo de transformación de una función cuadrática. Las transformaciones para diferentes tipos de funciones son todas iguales, por lo que se comparan igual. Simplemente se ven un poco diferentes para cada tipo de función. Por ejemplo, consideremos funciones exponenciales.

Transformaciones de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son funciones que contienen la variable en el exponente. La función exponencial más básica es y = b x , y la llamamos función madre de funciones exponenciales. En general, una función principal es la función más básica de un grupo o familia de funciones. Cuando b > 1, tenemos un crecimiento exponencial y la gráfica se eleva de izquierda a derecha. Cuando 0 < b <1, tenemos una disminución exponencial y la gráfica cae de izquierda a derecha.

Todas las funciones exponenciales pueden derivarse de la función principal mediante una serie de transformaciones. Por ejemplo, considere la siguiente función:

• h ( x ) = -2 1/4 x

Esta es la función padre f ( x ) = b x , donde b = 2, tomada a través de las siguientes transformaciones:

• Estirado horizontalmente por un factor de 4, porque multiplicamos la variable x por 1/4
• Reflejado sobre el eje x , porque multiplicamos toda la función por un negativo

Bastante ordenado, ¿eh? Cuando se trata de transformaciones de funciones exponenciales, es importante recordar que los cambios horizontales, el estiramiento / contracción horizontal y las reflexiones sobre el eje y deben ajustarse a la variable x . Debido a que la variable x de una función exponencial está ubicada en el exponente, estas transformaciones deben afectar la parte del exponente de la función. Esta es la mayor diferencia de transformaciones de funciones exponenciales de otras funciones.

Usando estos hechos de transformación, podemos encontrar una función exponencial observando su gráfica y la gráfica de la función principal, luego siguiendo los siguientes pasos:

1. Identifica las transformaciones por las que llevamos la función padre para llegar a la función.
2. Realice las operaciones algebraicas correspondientes de las transformaciones en la función padre.

¡Hagamos un intento!

Ejemplos

El siguiente gráfico muestra la función padre exponencial f ( x ) = 3 x , que es un modelo de crecimiento exponencial desde 3> 1, junto con otra función exponencial, g ( x ). Queremos encontrar g ( x ).

Para encontrar g ( x ), primero identificamos las transformaciones por las que tomamos f ( x ) para obtener la gráfica de g ( x ). Es obvio que desplazamos el gráfico de la función principal hacia la izquierda, por lo que solo necesitamos averiguar cuántas unidades movimos el gráfico hacia la izquierda. Podemos hacer esto observando que el punto (0,1) en f ( x ) termina en el punto (-4,1) en g ( x ). Vemos que el valor de x cambia de 0 a -4, por lo que tenemos que mover f ( x ) 4 unidades hacia la izquierda.

Ahora, solo identificamos que mover f ( x ) 4 unidades a la izquierda corresponde a sumar 4 a la variable x en la función. Por lo tanto, g ( x ) = 3 x +4 .

¡Eso fue divertido! Probemos uno más. Consideremos cómo cambiar un modelo de crecimiento exponencial, f ( x ) = 2 x , en un modelo de disminución exponencial.

Este es un modelo de crecimiento exponencial, porque 2> 1. Sabemos que los modelos de decrecimiento exponencial tienen la misma forma que los modelos de crecimiento exponencial, pero caen de izquierda a derecha en lugar de subir. ¿Puedes pensar en una transformación que haría que esto suceda para la gráfica de f ( x ) = 2 x ?

Si estás pensando que reflejar la gráfica sobre el eje y sería suficiente, ¡estás en lo correcto! Esta transformación corresponde a multiplicar la variable x por un negativo, por lo que esta es la gráfica de la función g ( x ) = 2 – x . En última instancia, la razón por la que esto funciona es debido a las propiedades de los exponentes negativos. Es decir,

• 2 – x = 1 / (2 x ) = (1/2) x

Vemos que multiplicar la variable x por un negativo en el exponente convierte la función en un modelo de desintegración exponencial al cambiar el valor b de la función madre a un número entre 0 y 1.

¡Tan limpio!

Resumen de la lección

Las transformaciones de funciones son operaciones algebraicas en una función que corresponden a mover o cambiar el tamaño de la gráfica de la función. Hay cuatro tipos de transformaciones: cambios horizontales, estiramiento / contracción, reflejos y cambios verticales.

Cuando comparamos transformaciones de diferentes tipos de funciones, encontramos que funcionan exactamente igual para cada tipo de función. Sin embargo, recuerde que los cambios horizontales, el estiramiento / contracción horizontal y la reflexión sobre el eje y deben tener lugar en la parte del exponente de la variable x de la función.

Una función parental es la función más básica de un grupo o familia de funciones. Podemos identificar funciones observando sus gráficos junto con el gráfico de la función principal y luego siguiendo estos pasos:

1. Identifica las transformaciones por las que llevamos la gráfica de la función madre para llegar a nuestra gráfica.
2. Identificar las operaciones algebraicas correspondientes de las transformaciones y realizarlas en la función padre.

Estar familiarizado con las transformaciones de funciones es extremadamente útil al analizar o graficar funciones, por lo que es genial que ahora estemos más familiarizados con este concepto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador