Comprensión de los límites: uso de la notación

Definición de límites

Gráfico de roadtrip que muestra la velocidad en función del tiempo

Los límites describen lo que sucede cuando te acercas a un número. Pero, ¿cómo escribimos esto matemáticamente? Volvamos a uno de mis viajes por carretera. Voy a graficar mi velocidad en función del tiempo. Voy a empezar a conducir por las calles de la ciudad. Luego tomaré la autopista y navegaré a 60 mph más o menos. Pasaré por una colina donde mi auto desacelera. Cuando bajo la colina, empiezo a ir demasiado rápido. Entonces me van a detener por exceso de velocidad. Voy a decir que cuando me detengan por exceso de velocidad, eso es aproximadamente en un tiempo de aproximadamente 40 minutos. Así que voy a decir que mi tiempo, que llamaré t , es 40. ¿Cómo escribimos el límite cuando me acerco a uno de estos momentos? Entonces, ¿cuál es el límite? El límite es el valor al que se acerca una función como su variablese acerca a algún número. En este caso, la variable de interés, la variable que me importa, es el tiempo. Nuestra función es la velocidad.

¿Cuál es el límite que toma mi velocidad cuando me acerco a los 10 minutos? Bueno, si estoy en una carretera, probablemente voy a unas 60 mph. Matemáticamente, escribiría el límite cuando el tiempo llega a 10 de la velocidad de mi función, que es una función del tiempo, es 60. De manera similar, podría decir que el límite cuando el tiempo se acerca a 20 de mi velocidad es de aproximadamente 45 mph. Sabemos que cuando subo cuesta arriba, solo puedo alcanzar las 45 mph. Por último, puedo decir que el límite cuando el tiempo se acerca a 30 de mi velocidad es quizás de 70 mph. Esto es lo que estaba haciendo cuando el policía me encontró.

El límite de f (x) cuando x va a 2 es 4

Encontrar límites

Los límites en matemáticas son como en el mundo real. Son lo que sucede cuando te acercas a algo. Supongamos que quiere encontrar el límite de f (x) cuando x se acerca a 2. Una forma de hacerlo es observar qué sucede con los valores de x cuando se acerca a 2. Digamos que en 2, f (x) no está definida . Pero, ¿qué sucede cuando nos acercamos a 2 desde, digamos, el lado izquierdo? Cuando nos acercamos a 2 desde el lado izquierdo, f (x) parece moverse hacia 4. Si nos acercamos a él desde el lado derecho, para esta función en particular, también se acerca a 4. Así que podríamos escribir que el límite de f (x) cuando x va a 2 es 4.

Puede hacer esto para muchas funciones. Por ejemplo, f (x) = 10 (7 + x ) ^ (1/3) para x no es igual a 1 y f (x) = 1 cuando x = 1. ¿Cuál es el límite cuando esta función se acerca a 1? Escribamos esto en una tabla horizontal. En cero, f (x) = 19,13. A medida que aumentamos x , f (x) también aumenta. Parece que f (x) se acerca a 20.

El límite cuando x va a 1 de f (x) es 20

f (x) x x f (x)