Crecimiento y Decaimiento Exponencial: Fórmula, función y gráficos

Funciones exponenciales

Una función exponencial es una función que se escribe en la forma que se muestra a continuación:

$$y=ab^x$$

Las funciones exponenciales aumentan o disminuyen drásticamente a medida que aumenta el dominio. En la forma más básica de la función exponencial, el valor de «a» se llama «valor inicial» y nunca puede ser igual a cero. El factor {eq}b^x {/eq} tiene dos partes importantes: «b» es el factor de crecimiento (este término aparecerá más adelante en esta lección, por lo que mencionarlo temprano ayudará a aclarar cualquier duda) y puede ser cualquier número real positivo excepto 1. La segunda parte, «x», es la variable independiente, o el valor de entrada, que es el valor que uno decide colocar en «x» para encontrar los valores de salida resultantes. Las ecuaciones exponenciales se aplican principalmente en microbiología, estadística, contabilidad y ciencias empresariales, entre otras disciplinas.

Crecimiento exponencial versus decaimiento exponencial

Las ecuaciones exponenciales se presentan en dos formas distintas: caída exponencial y crecimiento exponencial. Para profundizar en las diferencias entre crecimiento exponencial y decrecimiento, es importante observar la forma básica de una función exponencial y sus respectivas gráficas para comprenderlas. La principal diferencia entre los dos es la siguiente: en una relación de caída exponencial, los valores de producción aumentan rápidamente a medida que aumenta el valor de los insumos, mientras que, en un crecimiento exponencial, la producción aumenta de una manera considerablemente rápida a medida que aumenta el valor de los insumos. Además, ninguna de las dos son funciones lineales, por lo tanto, no tienen una tasa de cambio constante. Dado que ambas ecuaciones tienen exactamente la misma forma: {eq}y=ab^x {/eq}, ¿qué determina la diferencia entre las dos?

El principal culpable a la hora de determinar si la función exponencial es de crecimiento o decrecimiento es el valor de la constante «b»:

• Si la función {eq}y=ab^x {/eq} y {eq}b>1 {/eq}, entonces la función es una función de crecimiento exponencial.
• Si la función {eq}y=ab^x {/eq} y {eq}0<b<1 {/eq}, entonces la función es una función de caída exponencial. Como se señaló anteriormente, «b» nunca puede ser exactamente 1.

Fórmulas de crecimiento y decadencia exponencial

Cuando se hace referencia a funciones exponenciales, se suele utilizar la variable «b». Sin embargo, cuando se estudian cambios en la población, cambios en los precios de los artículos y otros temas, se utiliza el porcentaje. En este caso, se utiliza la variable «r», sustituyendo «r» a la tasa o tasa porcentual. Usando 1 como tasa del 100%, se obtienen las siguientes fórmulas simples:

• La «tasa» de crecimiento se calcula sumando 1 a «r»: {eq}b=1+r {/eq}.
• La tasa de desintegración se encuentra restando «r» de 1: {eq}b=1-r {/eq}

Al sustituir las expresiones de tasa de crecimiento y tasa de caída por la variable «b», se obtienen dos modelos diferentes, uno para crecimiento exponencial y otro para caída exponencial:

$$\begin{matrix} Exponencial\;Crecimiento y exponencial\;Decaimiento \\ y=a(1+r)^x & y=(1-r)^x \end{matrix} $$

En estos modelos, «a» es el valor inicial, «r» es el porcentaje de crecimiento o decadencia y «x» es el número de intervalos de tiempo que pasan. Independientemente del modelo que se seleccione para estudiar o ilustrar los cambios requeridos a lo largo del tiempo, el nuevo valor de la variable {eq}b {/eq} se denomina «factor de crecimiento». Usar las fórmulas de crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial será útil al resolver problemas como los que se presentan a continuación:

Ejemplo 1: «Harry compró un automóvil en 2000 que le costó $35,690. Debido al uso, el kilometraje y el desgaste, el precio del automóvil siguió depreciándose a una tasa del 3% anual. Si Harry vendiera el automóvil ahora, ¿a cuánto tendría que venderlo? Redondee al dólar más cercano».

Solución: Al utilizar los términos «depreciar», se utiliza el concepto de caída exponencial. También puede haber cierta confusión sobre cómo el problema establece el porcentaje. Al afirmar que se sigue depreciando año tras año, significa que cada año el valor del coche pasa a ser un 3% menor que el precio que tenía el año anterior. Esta es otra evidencia que demuestra que la relación es una función de decaimiento exponencial. A continuación se muestra la configuración de las variables para la fórmula {eq}y=a(1-r)^x {/eq}:

$$y=a(1-r)^x \\ a=$35,690 \\ r=0.03 \\ x=22 $$

Para simplificar aún más la fórmula, restar 0,03 de 1 dará como resultado el valor más preciso de «b»: 0,97. Este factor de deterioro significa que cada año el precio del coche se reducirá en un 97% del valor del año anterior. El valor de x es 22 porque el año actual es 2022, han pasado 22 años desde que Harry compró el auto. Reemplace los valores en la fórmula y resuelva, preferiblemente usando una calculadora:

$$y=a(1-r)^x \\ y=35,690(1-0.03)^22 \\ y=35,690(0.97)^22 \\ y\aprox35,690(0.5117) \\ y\aprox18, 261$$

Harry tendría que vender el auto por alrededor de $18,261 hoy.

Ejemplo 2: «La población de una isla remota frente a la costa este de España es de 25.000 personas. Los demógrafos afirman que está previsto que la población aumente un 2,5% cada año. Estime la población de la isla dentro de 8 años. Redondee al más cercano persona completa.»

Solución: A diferencia del problema anterior, este problema involucra un crecimiento exponencial y requiere estimar la población de una región después de una cierta cantidad de años. Usando la fórmula {eq}y=a(1+r)^x {/eq}, comienza estableciendo las variables importantes. Al ser una relación de crecimiento exponencial, el factor de crecimiento {eq}1+r {/eq} pasa a ser {eq}1+0,025=1,025 {/eq} y el resto de variables son {eq}a=25.000\;x= 8 {/eq}. Sustituyendo la fórmula para cada valor respectivo y simplificando la expresión se obtendrá:

$$y=a(1+r)^x \\ y=25,000(1.025)^8 \\ y\\aproximadamente 30,460 $$

Así, la población de la isla dentro de 8 años será de unas 30.460 personas.

Función y gráfico de crecimiento exponencial

Como muchas funciones familiares, las ecuaciones exponenciales tienen su propio conjunto de gráficas, formas, comportamientos finales y otras complejidades que ayudan a dibujar su gráfica y comprender cómo se comporta la gráfica a medida que cambia el dominio. Analizar estas gráficas de crecimiento y decadencia. Observe este primer ejemplo:

Ejemplo 3: «Una muestra de 3 células bacterianas inició el proceso de división celular donde se dividen para hacer 2 copias idénticas de sí mismas. Los biólogos pudieron estimar que en la muestra esto ocurrió cada 20 minutos. La gráfica que representa el número de bacterias totales celdas, «y» después de «x» intervalos de 20 minutos es {eq}y=3(2^x) {/eq}.

Solución: Primero, identificar el tipo de función exponencial es importante para tener una idea de cómo debería verse la gráfica. El valor de «a» es 3 y el valor de «b» es 2. Dado que «b» es mayor que 1, esta función es una función de crecimiento exponencial.

Hacer una tabla de valores ayudará enormemente a establecer los puntos que serán esenciales para graficar la función.

Tenga en cuenta que los valores de dominio negativos no son necesarios, pero ayudarán a darle más forma al gráfico. Colocar esos pares ordenados en el gráfico conduce al gráfico de funciones que se muestra a continuación:

La forma general de la función de crecimiento exponencial es una curva que aumenta lentamente a medida que aumenta «x», pero aumenta dramáticamente a un ritmo muy acelerado cuando el dominio pasa el eje y. El dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de esta función son todos los valores que son mayores que cero (tenga en cuenta que a medida que la función se mueve hacia la izquierda, el valor se vuelve cada vez más pequeño y «casi», pero nunca llega a ser cero).

Ejemplo 4: «Carl compró una tarjeta coleccionable de baloncesto antigua de un paquete. Originalmente, el paquete estaba valorado en $3. Debido a las tasas de inflación, el precio de la tarjeta aumentó un 12% cada año. Encuentre el modelo exponencial que representa esta situación y dibuja el gráfico.»

Solución: Al observar la información proporcionada en el problema, este es un problema del mundo real que modela el crecimiento exponencial. Se puede comprobar ya que se afirma que el precio «aumenta cada año», es decir, el precio base de la tarjeta del pack será un 12% más que el precio del año anterior. Primero, crear y simplificar la fórmula para el crecimiento exponencial producirá lo siguiente:

$$y=a(1+r)^x \\ y=3(1+0.12)^x \\ y=3(1.12)^x $$

Cuando se trata de valores en dólares, se recomienda que los valores de salida se expresen al centavo más cercano. A continuación se muestra la tabla de valores para la situación:

Al estimar los puntos del gráfico, el boceto debería verse como la imagen a continuación:

Tenga en cuenta que, al igual que el gráfico del ejemplo anterior, parece haber una «línea invisible» que impide que el gráfico cruce el valor de cero en el eje y (rango). Esto se llama asíntota, una línea que se acerca a una función particular y se acerca a ella, pero no la cruza. También se demostró que ambas gráficas cortan el eje y en un punto particular. Ese punto se llama intersección con el eje y. Muestra el valor de la producción cuando x = 0. Al comprender el crecimiento exponencial, los científicos, demógrafos y expertos en negocios pueden estudiar cambios irregulares o rápidos en las cantidades.

Función y gráfico de decaimiento exponencial

Para repasar, el gráfico de caída exponencial es idéntico al de crecimiento exponencial:

$$y=ab^x\;for\;)<b<1 $$, y cuando se aplica a porcentajes y tasas, el modelo de caída exponencial es:

$$y=a(1-r)^x $$.

La forma de una función de caída exponencial es similar a la de crecimiento exponencial, excepto por algunas diferencias clave: primero, la gráfica generalmente disminuye a un ritmo rápido a medida que el dominio aumenta, ya que desde la izquierda, la producción es bastante grande, pero desciende a medida que aumenta. «x» aumenta. El siguiente ejemplo ilustrará cómo configurar las funciones exponenciales y sus gráficas:

Ejemplo 5: «Javier y su familia compraron una casa por $160,000. Si la familia vendiera la casa, su valor total se reduciría en un 4% cada año, a menos que la familia hiciera renovaciones. Encuentre la función y la gráfica que representa esto situación.»

Solución: Primero, configurar la variable para el modelo de caída exponencial y simplificarla será de gran ayuda para determinar el factor de caída:

$$y=a(1-r)^x \\ y=160.000(1-0,04)^x \\ y=160.000(0,96)^x $$.

Luego, al crear una tabla de valores, se anima a estimar las cantidades:

Trazar los puntos y dibujar el gráfico se verá como se muestra a continuación:

Tenga en cuenta que tanto el gráfico de crecimiento exponencial como el de decaimiento tienen la misma información crítica:

• El dominio de ambas funciones es el conjunto de los números reales.
• Ambas funciones, en su forma básica, tienen una asíntota horizontal en la ecuación y = 0 (el eje x).
• Ambas funciones tienen una intersección con el eje y, que viene dada por el valor de «a».

Sin embargo, es evidente que una es una función creciente y la otra es una función decreciente. El segundo ejemplo se puede utilizar para comprender cómo puede funcionar la caída libre en las ciencias físicas:

Ejemplo 6: «Se deja caer una pelota que rebota desde 60 pies de altura. Con cada rebote, la pelota alcanza una altura máxima de dos tercios de su altura anterior. Escribe una ecuación exponencial que represente esta situación y dibuja la gráfica».

Solución: Utilizando el modelo de decaimiento exponencial y sustituyendo los valores se obtendrá la siguiente fórmula:

{eq}y=ab^x \\ y=60(\frac{2}{3})^2 {/eq}

Hacer la tabla de valores será de gran ayuda con los datos y dibujar la gráfica:

El gráfico se muestra a continuación:

Resumen de la lección

Las funciones exponenciales son funciones cuya forma básica de ecuación es {eq}y=ab^x {/eq}. Las funciones exponenciales tienen dos subtipos diferentes: en una función de crecimiento exponencial, la base de la exponencial es mayor que 1, mientras que en una decrecimiento exponencial, la base de la exponencial está entre 0 y 1. Esta definición se amplía para incluir tasas y porcentajes. donde la tasa porcentual se suma o se resta de 1 para obtener la base del exponencial, que en estos casos se denomina factor de crecimiento o decrecimiento. Así es como se ven los modelos de crecimiento y caída exponencial:

$$\begin{matrix} Exponencial\;Crecimiento y exponencial\;Decaimiento \\ y=a(1+r)^x & y=(1-r)^x \end{matrix} $$

Los científicos, economistas, profesionales de la salud, demógrafos y otros especialistas utilizan funciones exponenciales para describir el crecimiento o la disminución del valor de la propiedad, la población de organismos, la caída de proyectiles y más relaciones que involucran un patrón de multiplicación con la misma base.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador