Criterios de pendiente para líneas paralelas y perpendiculares: prueba y problemas

Publicado el 2 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Propiedades de pendiente para líneas paralelas y perpendiculares

Jill acaba de enterarse de la relación entre las pendientes de las líneas paralelas y perpendiculares en la clase de matemáticas, y el maestro de Jill le ha pedido que pruebe estas propiedades para la tarea. Jill todavía está confundida por lo que le enseñaron y no entiende cómo usar las propiedades para resolver problemas que su maestro asignó para la tarea. Veamos si podemos ayudar a Jill con estos problemas.

Relación entre líneas paralelas

Jill no está segura de por dónde empezar, así que veamos primero los criterios de pendiente para las líneas paralelas. Comenzar con un diagrama ayudará a Jill con este problema. Dibujemos dos líneas rectas, 1 y 2, que sean paralelas entre sí. A continuación, dibujemos dos transversales o líneas que se cruzan con otras líneas. Hagamos una línea vertical y la otra horizontal. Observe que hemos creado dos triángulos: triángulo ABC y triángulo DCE.


Prueba de criterios de pendiente para líneas paralelas
Prueba de criterios de pendiente para líneas paralelas

Veamos los ángulos de los triángulos que hemos creado. Debido a que hemos dibujado nuestras transversales como líneas horizontales y verticales, el ángulo ACB y el ángulo DCE son 90 grados. Además, debido a que las líneas 1 y 2 son paralelas, algunos de sus ángulos serán iguales. Por ejemplo, ángulo BAC = ángulo CDE según el teorema del ángulo alternativo. Debido a que dos ángulos en cada triángulo son iguales, entonces el ángulo restante en cada triángulo, el ángulo ABC y el ángulo DEC, deben ser iguales entre sí.

Debido a que los ángulos del triángulo ABC = ángulos del triángulo DEF, entonces los dos triángulos son triángulos similares, y si los triángulos son similares, entonces sus lados correspondientes son proporcionales entre sí. Esto significa que lo siguiente es cierto:

AC / CD = BC / EC

Esto también se puede escribir como:

AC / BC = CD / EC

A continuación, ayudemos a Jill a calcular la pendiente de las líneas 1 y 2. La pendiente de una línea:

= cambio en el valor y / cambio en el valor x

La pendiente de la línea 1 es:

= AC / BC

La pendiente de la línea 2 es:

= CD / EC

Jill acaba de notar que ya ha visto estos valores de pendiente, ya que son las proporciones que calculó después de determinar que los triángulos eran similares. Debido a que las expresiones son iguales entre sí, entonces la pendiente de la línea 1 = la pendiente de la línea 2. Como dibujamos las líneas 1 y 2 paralelas entre sí, esperamos que las pendientes de sus líneas sean las mismas.

Relación entre líneas perpendiculares

Comencemos dibujando un diagrama que nos ayude a identificar la relación entre las pendientes de las líneas perpendiculares. Comience dibujando dos líneas, las líneas 1 y 2, que sean perpendiculares entre sí, o cree un ángulo de 90 grados donde se crucen. Necesitaremos crear dos triángulos para completar nuestra prueba. Dibujemos el triángulo ABC y luego gírelo 90 grados en sentido antihorario (o hacia la izquierda) para crear un segundo triángulo, ABC. Dado que solo estamos rotando el triángulo, el ángulo CBA en nuestro segundo triángulo sigue siendo un ángulo de 90 grados, al igual que el ángulo CBA en nuestro triángulo original.


Prueba de criterios de pendiente para líneas perpendiculares
Prueba de propiedades de pendiente para líneas perpendiculares

Calculemos la pendiente de las líneas 1 y 2 y veamos si nos proporciona alguna información sobre la relación entre estas líneas. Conocemos la fórmula para calcular la pendiente de una línea:

= cambio en el valor y / cambio en el valor x

Por lo tanto, la pendiente de la línea 1:

= – CB / BA

La pendiente es negativa porque el cambio en los valores de y disminuye a medida que bajamos del punto C al punto B.

Ahora, calculemos la pendiente de la línea 2:

= BA / CB

Jill nota que las dos expresiones se ven muy similares, pero los numeradores y denominadores están invertidos y una de las expresiones es negativa. Estas dos expresiones son recíprocas negativas entre sí. Jill recuerda que su maestra mencionó que si las líneas son perpendiculares, entonces sus pendientes serán recíprocas negativas entre sí.

Aplicación de criterios de pendiente para resolver problemas

La ecuación de una línea tiene el formato y = mx + b , donde:

  • x y y representan un punto en la línea de
  • m representa la pendiente de la recta
  • b representa la intersección con el eje y , o donde la línea cruza el eje y

Ayudemos a Jill a resolver el siguiente problema.

Encuentre la ecuación de una línea que es perpendicular ay = 3 x – 4 y pasa por el punto (3, 4).

Jill primero debe determinar la pendiente de la línea actual y luego encontrar su recíproco negativo. La pendiente de la línea dada es 3, lo que significa que la pendiente de la línea perpendicular es -1/3. El punto que Jill fue dado, (3, 4), representa un valor para x y y , respectivamente. Por lo tanto, podemos sustituir en la ecuación de una línea para resolver la intersección y desconocida , o b .

Sabemos lo siguiente:

m = -1/3 (pendiente de la línea perpendicular)

x = 3

y = 4

Si sustituimos los valores en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

y = mx + b

4 = -1/3 (3) + b

4 = -1 + b

5 = b

Pongamos todo junto. La ecuación de una línea perpendicular a la línea dada es y = -1/3 x + 5.

Jill también puede usar los criterios de pendiente para resolver problemas que involucran rectas paralelas. Supongamos que Jill tiene que encontrar una línea que sea paralela a una línea con una ecuación de y = 4 x – 3 que pase por el punto (1, 5). Jill sabe que las líneas que son paralelas entre sí tienen la misma pendiente, de modo que la nueva línea debe tener una pendiente de 4, y ella puede utilizar el punto (1,5) por su valores de x y y , respectivamente.

Sustituyamos en la ecuación para resolver la intersección con el eje y ( ob ). Sabemos lo siguiente:

m = 4

x = 1

y = 5

Si sustituimos los valores en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

y = mx + b

5 = 4 (1) + b

5 = 4 + b

1 = b

Pongamos todo junto. La ecuación de una línea que es paralela a la línea dada es y = 4 x + 1.

Resumen de la lección

Las líneas paralelas tienen pendientes iguales. Podemos probar esto dibujando dos líneas paralelas y dos transversales , o líneas que se cruzan con las líneas paralelas para crear dos triángulos. Al usar los teoremas de los ángulos, podemos probar que los triángulos son similares entre sí, lo que significa que sus ángulos serán iguales y sus lados serán proporcionales entre sí.

Las líneas que son perpendiculares entre sí tienen pendientes que son recíprocas negativas , lo que significa que los valores del numerador y denominador se invierten y una de las pendientes tendrá un valor negativo.

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