Cuantificadores en lógica matemática: tipos, notación y ejemplos

Cuantificadores

Suponga que está hablando con su amiga Mary y ella está describiendo dos clubes a los que se ha unido. Mientras describe a las personas del primer club, dice lo siguiente: “Existe un miembro del Club 1, de modo que el miembro tiene el pelo rojo”. Al describir el segundo club, dice lo siguiente: “Para todos los miembros del Club 2, el miembro tiene el pelo rojo”.

Con base en estas dos declaraciones, ¿qué me puede decir sobre el color de cabello de los miembros en Club 1 y Club 2? Bueno, echemos un vistazo a sus declaraciones y sepárelas.

En matemáticas, las frases “existe” y “para todos” juegan un papel muy importante en la lógica y los enunciados lógicos. De hecho, son tan importantes que tienen un nombre especial: cuantificadores. Los cuantificadores son palabras, expresiones o frases que indican la cantidad de elementos a los que pertenece una declaración. En lógica matemática, hay dos cuantificadores: “existe” y “para todos”.

Existe y para todos

La frase ‘existe’ se llama cuantificador existencial , lo que indica que existe al menos un elemento que satisface una determinada propiedad. En el Club 1, Mary te dijo que existe un miembro, de modo que el miembro tiene el pelo rojo. Esto nos dice que al menos un miembro del club tiene el pelo rojo, pero no necesariamente todos.

La frase “para todos” se llama cuantificador universal e indica que todos los elementos de un conjunto dado satisfacen una propiedad. Para el Club 2, Mary dijo que “para todos los miembros del Club 2, el miembro tiene el pelo rojo”. Esto nos dice que todos los miembros del Club 2 tienen el pelo rojo.

Un par de ejemplos de lógica matemática de enunciados que involucran cuantificadores son los siguientes:

• Existe un número entero x , tal que 5 – x = 2
• Para todos los números naturales n , 2 n es un número par.

El primer enunciado involucra el cuantificador existencial e indica que hay al menos un entero x que satisface la ecuación 5 – x = 2. El segundo enunciado involucra el cuantificador universal e indica que 2 n es un número par para cada número natural n.

Notación

Hay muchas explicaciones que se dan al escribir pruebas, enunciados, teoremas y cosas por el estilo matemáticos. Debido a esto, la notación matemática se usa a menudo para acortar explicaciones largas y darle un descanso a su escritura.

Lo realmente bueno de esto es que la notación matemática es la misma en todos los idiomas, por lo que los matemáticos aún pueden comunicarse incluso si no hablan el idioma de los demás. Algo poético, ¿eh?

Tenemos símbolos que usamos para nuestros dos cuantificadores. El símbolo del cuantificador universal parece una A invertida, y el símbolo del cuantificador existencial parece una E invertida.

Podemos usar esta notación al escribir declaraciones que involucran estos cuantificadores. Por ejemplo, considere los dos ejemplos de enunciados de lógica matemática que dimos hace un momento.

• Para todos los números naturales n , 2 n es un número par.
• Existe un número entero x , tal que 5 – x = 2

Podemos reescribir estas declaraciones usando nuestra notación.

• ∀ números naturales n , 2 n es un número par.
• ∃ un número entero x , tal que 5 – x = 2

Cuanto más avance en sus estudios matemáticos, más notación aprenderá, y las declaraciones casi comenzarán a parecer pequeñas obras de arte.

Veamos algunos ejemplos más de cuantificadores universales y existenciales, junto con su notación, para solidificar realmente nuestra comprensión de este concepto.

Otras frases para cuantificadores

Cuando se trata de declaraciones que involucran cuantificadores, no siempre contendrán la frase exacta ‘para todos’ o ‘existe’, pero siempre podemos reformularlas para que contengan estas frases para que podamos usar nuestra notación.

Para el cuantificador universal ‘para todos’, puede encontrar declaraciones con las palabras y frases ‘todos’, ‘siempre’ o ‘para cada uno’, por nombrar algunas. Por ejemplo, considere la siguiente declaración:

• Si x es un número natural, entonces -1 ⋅ x siempre será negativo.

Observe que esta declaración contiene la palabra “siempre”. Esto indica que se trata del cuantificador universal. Podemos reformular esta declaración para incluir la frase ‘para todos’ de la siguiente manera:

• Para todos los números naturales x , -1 ⋅ x es negativo.

Al reformular la declaración, podemos escribirla usando nuestro símbolo ‘para todos’.

• ∀ números naturales x , -1 ⋅ x es negativo.

De manera similar, algunas palabras o frases que sugieren un cuantificador existencial son ‘algunos’, ‘al menos uno’ o ‘hay’. Considere la siguiente declaración:

• Algunos enteros son impares.

La palabra ‘algunos’ indica el cuantificador existencial. Reformulemos la declaración para que contenga la frase “existe”.

• Existe un número entero x , tal que x es un número impar.

Ahora, podemos usar nuestro símbolo para ‘existe’.

• ∃ un número entero x , tal que x es un número impar.

Resumen de la lección

Los cuantificadores son expresiones o frases que indican la cantidad de objetos a los que pertenece una declaración. Hay dos cuantificadores en lógica matemática: cuantificadores existenciales y universales.

En los cuantificadores existenciales , la frase “existe” indica que existe al menos un elemento que satisface una determinada propiedad. La notación que usamos para el cuantificador existencial es una E al revés (∃), y representa la frase “existe”. Algunas palabras y frases en una declaración que indican un cuantificador existencial son “algunos”, “al menos uno” y “hay”.

En los cuantificadores universales , la frase “para todos” indica que todos los elementos de un conjunto dado satisfacen una propiedad. La notación que usamos para el cuantificador universal es una A (∀) invertida y representa la frase “para todos”. Algunas palabras y frases de un enunciado que indican un cuantificador universal son “todos”, “siempre” o “para cada uno”.

Estar familiarizado con estos dos cuantificadores, lo que representan y su notación, es esencial para el estudio de la lógica y el análisis matemático. Incluso puede ayudarlo a hablar mejor en las conversaciones cotidianas.