Dados: encontrar los valores esperados de los juegos de azar

El juego de los dados

Imagínese entrar en un casino para jugar a los dados, sabiendo exactamente qué apostar y cuánto ganará o perderá. A esto se le llama el valor esperado del juego, y en esta lección aprenderemos a calcularlo.

En los casinos, hay un juego llamado «craps», que consiste en lanzar dos dados de seis caras. Las reglas son algo complicadas, pero comprender las probabilidades de las diferentes combinaciones de dados le da a una persona una sólida ventaja en el juego.

Suponga que juega un juego en el que lanza dos dados de seis caras. Y suponga que las reglas del juego son: pierde $ 3 si obtiene una suma de 2, 4 o 10. Pierde $ 2 si obtiene una suma de 7, pero gana $ 1 por cualquier otra cosa. Si continúa jugando a este juego, ¿qué puede esperar ganar o perder a largo plazo?

Por lo que puede recordar que el valor esperado, llamado E de X , de una situación es la suma de cada valor, denominado X , los tiempos de su probabilidad, llamado P de X . En notación matemática, esto se escribe así:

Para este juego, hay tres eventos a considerar:

1. obteniendo una suma de 2, 4 o 10
2. obteniendo una suma de 7
3. conseguir cualquier otra cosa

Y cada una de estas ocurrencias tiene un valor asociado a ellas:

1. perdiendo $ 3
2. perdiendo $ 2
3. ganando $ 1, respectivamente

Podemos pensar en la cantidad ganada o perdida como los valores de la variable aleatoria discreta X . Entonces, X es la cantidad de dinero ganada o perdida por tirada de dados. Además, cada uno de estos valores tiene una probabilidad asociada.

Entonces, la clave para esto es conocer las probabilidades de cada evento. Para ello, debemos examinar qué sucede cuando se lanzan dos dados. Aunque el dado tenga el mismo aspecto, desde una perspectiva matemática son dos dados distintos. Son independientes entre sí. Probablemente, la independencia significa que no se afectan entre sí. Entonces, cada dado es independiente del otro porque uno no afecta el resultado del otro.

Para ilustrarlo, hagamos que uno muera azul y el otro rojo.

Cada dado tiene seis lados, por lo que hay seis resultados posibles para cada dado cuando se tira individualmente. Sin embargo, cuando se juntan, ¡hay 6 * 6 = 36 resultados posibles! Esto puede resultar sorprendente, pero el siguiente diagrama ilustra todos los resultados y todas las sumas cuando se lanzan dos dados.

Entonces, por ejemplo, podría obtener un 1 en el dado rojo y un 1 en el dado azul, lo que se suma a 2. Y, en realidad, esta es la única forma de obtener una suma de 2. Y entonces la probabilidad de obtener un La suma de 2 cuando tira dos dados es 1 de 36, que es aproximadamente 0.028, ¡o una probabilidad del 2.8%!

Podemos mirar la tabla para encontrar la probabilidad de cualquiera de las sumas de los dos dados. Entonces, para una suma de 4, las posibilidades son 1 en rojo + 3 en azul, 2 en rojo + 2 en azul o 3 en rojo + 1 en azul. La razón por la que no contamos 2 + 2 dos veces es porque 2 en rojo + 2 en azul es lo mismo que 2 en azul + 2 en rojo.

Por lo tanto, la probabilidad de una suma de 4 es 3 de 36, que es aproximadamente 0.083.

¿Y la probabilidad de una suma de 10 cuando tira un dado es? Puede pausar el video aquí para calcular esto a partir de la tabla.

Espero que hayas calculado 3/36. Puede ver en la tabla que hay tres formas de obtener una suma de 10: 4 + 6, 5 + 5 o 6 + 4.

Así que volvamos al juego. Pierdes $ 3 si obtienes una suma de 2, 4 o 10. Y ahora sabemos que hay una probabilidad de 1/36 de obtener una suma de 2, una probabilidad de 3/36 de obtener una suma de 4 y también una probabilidad de 3/36 probabilidad de obtener una suma de 10. Dado que estamos interesados ​​en todos estos resultados, obtenemos una probabilidad total de 1/36 + 3/36 + 3/36 = 7/36, o aproximadamente una probabilidad de 0,194 de obtener una suma de 2, 4 o 10 cuando tira dos dados.

¿Qué hay de obtener una suma de 7? Cual es su probabilidad? Puede pausar el video aquí para ver si puede calcularlo.

Así que espero que obtengas 6/36, que es aproximadamente el 17%. Entonces, vemos que hay 6 formas de obtener una suma de 7: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1.

Hay más formas de obtener una suma de 7 que cualquier otra suma, ¡y a veces se le llama siete afortunados! Aunque en este caso, ¡es de mala suerte para ti ya que perderás $ 2 si lo consigues!

Entonces, ¿cómo se gana este juego? Necesitas tirar cualquier otra cosa que no sean las sumas anteriores de 2, 4, 10 o 7. ¿Y cuál es la probabilidad de hacer esto? Una de las propiedades de las probabilidades para una situación particular es que todas deben sumar 1. Más formalmente: la suma de todas las probabilidades en una distribución de probabilidad suma 1.

Una distribución de probabilidad enumera todos los resultados de una situación particular y todas las probabilidades correspondientes. En este caso estamos hablando de la suma de los números de los dos dados de seis caras.

Entonces, ya sabemos que la probabilidad de obtener una suma de 2, 4 o 10 es 7/36 y la probabilidad de obtener una suma de 7 es 6/36. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener alguna otra suma?

Como todos deben sumar 1, podemos sumar las probabilidades que conocemos y restar el resultado de 1. En otras palabras, la probabilidad de obtener una suma de cualquier otra cosa que no sea 2, 4, 10 o 7 es: 1 – 7/36 – 6/36 = 23/36, o aproximadamente 0,64 o 64%. Así que hay un 64% de posibilidades de que ganes algo en este juego, ¡y ese algo es un dólar!

Aquí está la tabla de antes con las probabilidades:

Poniendolo todo junto

¿Qué puedes esperar de este juego si lo juegas muchas veces?

Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor de cada evento por su probabilidad y luego sumamos los resultados. Entonces, para el caso de obtener una suma de 2, 4 o 10, multiplicamos -3 por 7/36, que es igual a -21/36. Y para el caso de obtener una suma de 7, multiplicamos -2 por 6/36, que es igual a -12/36. Y finalmente, para el caso de obtener cualquier otra cosa, multiplicamos +1 por 23/36, lo que equivale a 23/36.

Si los sumamos todos, obtenemos un valor esperado de: -21/36 – 12/36 + 23/36 = -10/36 o -0,28. En otras palabras, si continuaras jugando a este juego, tus ganancias promedio serían de -0.28 por tirada, ¡o una pérdida de 28 centavos por tirada de dados!

Esto se resume en la siguiente tabla:

Y recuerde, su pérdida es la ganancia del casino. Entonces, si 100.000 personas jugaran este juego en el transcurso de una semana, ¿qué ganaría el casino en este juego? Bueno, ganarían 28 centavos por persona multiplicado por 100.000 = $ 28.000 multiplicado por la cantidad de rollos que jugó cada persona. ¡Este no es un retorno de la inversión demasiado malo para el casino!

Rodando tres dados

Hemos visto que hay 36 resultados posibles cuando tira dos dados de seis caras. Suponga que juega un juego con tres dados de seis caras. ¿Cuántos resultados posibles hay ahora?

Bueno, dado que los dados son independientes entre sí y cada dado tiene 6 lados, ¡hay un total de 6 * 6 * 6 = 216 resultados cuando lanzas tres dados! Ahora enumeraremos todos los resultados aquí, pero si alguna vez se siente aburrido y necesita algo para ocupar el tiempo, intente enumerar todos los resultados cuando lance tres dados. Puedo empezar con 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 3, y así sucesivamente.

Extendamos esto un poco más. Suponga que juega un juego con tres dados de seis caras. Las reglas son: si saca tres seises, que es una suma de 18, gana $ 100. Pero, si lanza cualquier otra cosa, pierde $ 1. ¿Qué esperas ganar o perder en este juego a largo plazo?

Para responder a esto, necesitamos conocer la probabilidad de obtener tres seis cuando tiramos tres dados. Bueno, solo hay una forma de obtener tres seises cuando tiramos tres dados, y es un seis en el primer dado, un seis en el segundo dado y un seis en el tercero. Y como hay un total de 216 resultados, la probabilidad de 3 seises es 1/216.

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener algo más? 1 – 1/216 = 215/216

Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor por su probabilidad y sumamos los resultados. Entonces, el valor esperado de este juego es: (100 * 1/216) + (-1 * 215/216) = -115/216 = -53 centavos, aproximadamente. ¡Por lo tanto, puede esperar perder aproximadamente 53 centavos en promedio por cada tirada de dados! Esto se muestra en la tabla siguiente.

Dados de cuatro caras

Hasta ahora hemos hablado de jugar con dados de seis caras. Pero, ¿y si un dado tuviera una cantidad diferente de lados? ¿Como un dado de cuatro caras o un dado de 10 caras? Bueno, las reglas que se usan para calcular las probabilidades y los valores esperados usando estos tipos de dado son las mismas, aunque las probabilidades variarán. Por ejemplo, veamos un dado de cuatro lados, que se llama tetraedro, y supongamos que está numerado del 1 al 4 en sus lados.

Dado que estamos tratando con un dado de cuatro lados, cuando lo lanzas, el lado que nos interesa es el lado en el que se asienta, no el lado que mira hacia arriba. ¿Por qué? ¡Porque un dado de cuatro lados no puede tener una cara colocada verticalmente hacia arriba! Observe que el número en la parte inferior de la matriz etiqueta la cara en la que está sentado.

Entonces, ¿cuántos resultados hay cuando lanzamos dos dados de cuatro caras? Bueno, al igual que el dado de seis lados, son independientes entre sí, por lo que hay 4 * 4 = 16 resultados posibles. Puede enumerarlos tal como lo hicimos con los dos dados de seis caras, pero tenga en cuenta que solo puede haber sumas de 2 a 8.

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 cuando tira dos dados de cuatro lados? Para responder a esto, enumeremos las diferentes formas de obtener una suma de 7 con dos dados de cuatro lados. Para obtener una suma de 7 podemos un 3 en el primer dado y un 4 en el segundo dado o un 4 en el primer dado y un 3 en el segundo dado. Por lo tanto, solo hay dos formas de obtener una suma de 7 al lanzar dos dados de cuatro lados. ¡Y así, la probabilidad de obtener una suma de siete al lanzar dos dados de cuatro lados es 2/16 o 1/8!

Resumen de la lección

En este video, vimos el meollo de la cuestión de tirar los dados. Vimos que con múltiples dados, cada dado es independiente entre sí. Y así, específicamente, cuando lanza dos dados de seis caras, hay un total de 6 * 6 = 36 resultados posibles. Pero todos los resultados dan como resultado sumas de 2 a 12, con probabilidades variables que van desde 1/36 para una suma de 2, hasta 6/36 para una suma de 7 y de vuelta a 1/36 para dos seises, o una suma de 12.

También vimos que todas las probabilidades de la distribución se suman a uno. Y aprendimos cómo calcular una ganancia o pérdida esperada en un juego de dados multiplicando cada valor por su probabilidad y luego sumando los resultados. También analizamos variaciones en los juegos de dados, y viste que cuando tiras tres dados de seis caras, hay un total de 6 * 6 * 6 = 216 resultados.

Y cuando lanza dos dados de cuatro caras, hay un total de 4 * 4 = 16 resultados posibles. Enumerar los diversos resultados nos permite calcular sus probabilidades y conocer las probabilidades nos permite calcular los valores esperados. El valor esperado es realmente un valor promedio del juego, ya sea una victoria o una derrota.

Los resultados del aprendizaje

Persiga estos objetivos a medida que completa esta lección:

• Calcule el total de resultados posibles de un evento al lanzar dados con cuatro, cinco y seis lados
• Calcule las probabilidades y los valores esperados de resultados específicos de un evento.
• Recuerde que la suma de las probabilidades de una distribución es igual a uno

Rodrigo Ricardo Editor y fundador