División de expresiones radicales

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La regla del cociente

Un cociente es la respuesta a un problema de división. Al dividir expresiones radicales, usamos la regla del cociente para ayudar a resolverlas. La regla del cociente establece que un radical que involucra un cociente es igual a los cocientes de dos radicales. Escrito en términos matemáticos, esto significa:

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Entonces, cuando divide una expresión radical por otra, puede simplificarla escribiendo ambas expresiones bajo el mismo radical y luego simplificando. La regla del cociente solo funciona si:

1. Cada radical tiene el mismo índice . El índice es el número en superíndice a la izquierda del símbolo del radical, que indica el grado del radical.

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En este ejemplo, el índice es el 3 y está indicando la raíz cúbica de 27. Si no hay índice, se entiende que es 2, o una raíz cuadrada.

2. El denominador de la fracción no es cero.

División de expresiones radicales

Estos son los pasos para dividir expresiones radicales.

  1. Asegúrese de que el índice de cada radical sea el mismo y que el denominador no sea cero.
  2. Convierte la expresión en un radical.
  3. Simplifique donde sea posible.
  4. Racionalice el denominador, si es necesario.

Por ejemplo, resuelve:

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Una vez que hayamos determinado que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo índice (2) y que el denominador no es cero, podemos usar la regla del cociente para convertir la expresión a esto:

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Resolver bajo el radical – 100/4 = 25 – nos da √25, que es igual a 5. Como no hay denominador para racionalizar, el problema está terminado.

Racionalizar el denominador

Las matemáticas tienen su propio idioma y, como cualquier otro idioma extranjero, existen ciertas reglas que se deben seguir para hablar el idioma correctamente. Hablar matemáticas correctamente asegura que los matemáticos de todo el mundo puedan entenderse entre sí.

Una regla para los radicales es que para que una expresión radical esté en su forma más simple, no puede tener un radical en el denominador. Entonces, el último paso para simplificar cualquier expresión radical con una fracción es asegurarse de que no haya un radical en el denominador. A esto se le llama racionalizar el denominador.

Para racionalizar un denominador, multiplica la expresión por una fracción apropiada que sea equivalente a uno. Por ejemplo, simplifique:

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Debido a que hay un radical en el denominador de esta expresión, necesitamos racionalizar el denominador para simplificar la expresión de modo que esté escrita matemáticamente correcta. El primer paso es crear una fracción que sea equivalente a una que ayude a eliminar el radical del denominador. La mayoría de las veces, la fracción necesaria será la misma que el radical del denominador. Para que sea una fracción que sea equivalente a uno, debes tener el mismo numerador como denominador. Para este ejemplo, el primer paso del problema se verá así:

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La simplificación de este problema se ve así:

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Como la raíz cuadrada de x ^ 2 es igual ax, el radical se quita del denominador y la simplificación de esta expresión es

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Poniendolo todo junto

Para dividir expresiones radicales más complejas, no solo debemos dividir, sino también asegurarnos de que no haya un radical en el denominador. Prueba este ejemplo. Simplificar:

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El primer paso es determinar si hay términos que puedan simplificarse mediante la división antes de preocuparnos por el radical. Hay dos términos que se pueden simplificar en esta expresión: 12/6 = 2, y el término b en el numerador cancela el término b en el denominador. Eso nos deja con este término para simplificar.

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Como no podemos dejar la expresión con un radical en el denominador, necesitamos racionalizarla o encontrar algo que cuando se multiplique por el denominador elimine el radical.

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Cuando multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la raíz cuadrada de c , obtenemos nuestra respuesta final.

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Aquí hay otro ejemplo para probar.

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El primer paso es ver si hay términos que podamos simplificar dividiendo. Dado que 12 no es divisible por 5, y no hay variables comunes en el numerador y denominador, no podemos simplificar ahora. Así que necesitamos separar el numerador y el denominador según la regla del cociente para poder seguir adelante.

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Dado que hay un radical en el denominador de esta expresión, el siguiente paso es racionalizar el denominador. ¿Qué se puede multiplicar al denominador para que el resultado no implique un radical? La respuesta es:

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porque

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que se simplifica en

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Luego, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por el término que eliminará el radical del denominador.

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Esto se simplifica a:

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Resumen de la lección

Para dividir expresiones radicales, primero debe determinar si el numerador y el denominador se pueden simplificar por división. Después de cualquier simplificación, debe asegurarse de que no haya ningún radical en el denominador. Si lo hay, debes simplificarlo racionalizando el denominador. Esto se hace determinando un término que cuando se multiplica por el denominador anula el radical. Luego, ese término se multiplica tanto por el numerador como por el denominador, todo se simplifica y el término resultante es la respuesta.

Resultado de aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder dividir una expresión radical simplificando o racionalizando, multiplicando y simplificando para la respuesta final.