Ecuación de Bernoulli: Definición, ecuación y formula

¿Qué es la ecuación de Bernoulli?

La ecuación de Bernoulli es importante en muchas aplicaciones, como el diseño de alas de avión que mantendrán un avión en el aire y mangueras contra incendios que aún podrán rociar agua incluso cuando el extremo de la manguera esté muy por encima del nivel del suelo. También explica por qué puede sentir que su automóvil se tambalea si pasa un camión grande en la carretera y por qué el agua en una tubería fluye más rápido cuando la tubería se estrecha.

La relación entre la presión del fluido y la velocidad que ahora conocemos como ecuación de Bernoulli fue notada por primera vez por el científico suizo Daniel Bernoulli en el siglo XVIII. Al observar el agua fluyendo en una tubería, vio que cuando la tubería se estrechaba, la velocidad del agua aumentaba y su presión disminuía. También notó que había una relación entre la presión en un cierto punto en un fluido y la altura del fluido por encima de ese punto. Matemáticamente, la ecuación de Bernoulli se puede escribir como:

$$ P_ {1} + \ rho gh_ {1} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = constante $$

donde P es la presión en el fluido, v es la velocidad del fluido y h es la altura del fluido sobre un punto de referencia. Aunque la presión y la velocidad pueden cambiar, la suma de estos tres términos siempre es constante en un fluido.

¿Qué es un fluido ideal?

Si bien la ecuación de Bernoulli es realmente útil en muchas situaciones, no se puede usar para todos los fluidos. Eso es porque asume que el fluido es ideal , lo que significa que no es comprimible (tiene una densidad constante) y no tiene viscosidad (fricción interna). Además, los fluidos ideales que se mueven deben tener un flujo constante sin turbulencias. Esto se conoce como flujo laminar. Los fluidos como el agua están muy cerca de lo ideal, por lo que la ecuación de Bernoulli funciona bien para modelar su comportamiento, pero no se puede aplicar a fluidos muy viscosos como la miel o la salsa de tomate sin algunas modificaciones.

Ecuación de Bernoulli y conservación de energía

La ecuación de Bernoulli se deriva del principio de conservación de la energía , que dice que el trabajo realizado en un sistema (o fluido en este caso) es igual al cambio total de energía del sistema. En el caso de un fluido, el trabajo realizado por la presión en el fluido provoca cambios en su energía cinética y potencial. Observe que los dos últimos términos en la ecuación de Bernoulli son idénticos a los términos de energía cinética y potencial en la ecuación de conservación de energía, excepto que la masa ha sido reemplazada por la densidad del fluido, {eq} \ rho {/ eq}

Ecuación de Bernoulli

La mayoría de las veces, la ecuación de Bernoulli se usa para comparar la presión y la velocidad de un fluido en dos puntos diferentes, por lo que comúnmente se escribe como:

$$ P_ {1} + \ rho gh_ {1} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = P_ {2} + \ rho gh_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2} ^ {2} $$

Donde P es la presión en el fluido, v es su velocidad, h es la altura del fluido sobre algún punto de referencia, g es la aceleración debida a la gravedad (9,8 m / s ² ) y {eq} \ rho {/ eq } es la densidad de masa del fluido (generalmente en unidades de kg / m ³ ). La densidad de masa del agua es 1000 kg / m ³ .

Presión manométrica vs presión absoluta

En la Tierra, el aire de la atmósfera ejerce una presión constante, lo que llamamos presión atmosférica . En unidades SI, la presión atmosférica tiene un valor promedio de 101,300 Pa. La presión manométrica es la presión adicional que se ejerce sobre un objeto o fluido además de la presión atmosférica. La presión absoluta es la presión total, que es la suma de la presión manométrica y la presión atmosférica.

$$ P_ {abs} = P_ {g} + P_ {atm} $$

Aunque es más común usar presión manométrica en la ecuación de Bernoulli, está bien usar presión manométrica o absoluta. Sin embargo, P ₁ y P ₂ deben ser del mismo tipo de presión (ya sea presión manométrica o presión absoluta).

Caso especial de la ecuación de Bernoulli para un fluido estático

Veamos cómo se aplica la ecuación de Bernoulli a un fluido que no se mueve. Dado que v = 0 en todas partes en un fluido estático, la ecuación de Bernoulli se puede reescribir como:

$$ P_ {1} + \ rho gh_ {1} = P_ {2} + \ rho gh_ {2} $$

Para simplificar esto aún más, elija un punto de referencia para que h ₂ = 0. Recuerde que CUALQUIER punto se puede utilizar como punto de referencia, siempre que h ₁ también se mida desde el mismo punto. Si h ₂ = 0, la ecuación de Bernoulli se convierte en:

$$ P_ {2} = P_ {1} + \ rho gh_ {1} $$

Esto significa que la presión en el punto 2 es mayor que la presión en el punto 1 en un factor de {eq} \ rho gh_ {1} {/ eq}.

Ley de Pascal

Esta relación también se conoce como Ley de Pascal , que dice que la presión aplicada a un fluido se transmite a cada punto del fluido que está a la misma profundidad y generalmente se escribe como:

$$ \ Delta P = \ rho gh $$

Caso especial de la ecuación de Bernoulli a profundidad constante

Dado que h es constante cuando la profundidad del fluido no cambia, el punto de referencia se puede elegir de modo que tanto h ₁ como h ₂ sean cero. En consecuencia, la ecuación de Bernoulli se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ P_ {1} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = P_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2} ^ {2} $ PS

En este caso, la presión en el fluido solo depende de qué tan rápido fluye el fluido, y la velocidad depende de la geometría de la tubería o canal que contiene el fluido en movimiento.

La ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad explica cómo cambia la velocidad de un fluido en función de la geometría del canal por el que fluye. Dice que la cantidad total de fluido que se mueve a través de cualquier región del canal o tubería debe ser constante, de modo que en lugares donde el área de la sección transversal del canal es mayor, el fluido se moverá más lentamente, mientras que en áreas donde el El área de la sección transversal es más pequeña, el fluido se moverá más rápidamente.

Matemáticamente, esto se puede escribir como:

$$ A_ {1} v_ {1} = A_ {2} v_ {2} $$

En conjunto, la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli demuestran que en áreas donde el canal se vuelve estrecho, la velocidad del fluido aumenta y la presión en el fluido disminuye, mientras que en áreas donde el canal es más ancho, la velocidad disminuye y la presión aumenta.

Demostrar ejemplos de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli puede explicar muchos fenómenos interesantes, como cómo una bola puede suspenderse en una corriente de aire o agua y cómo las alas de un avión están diseñadas para crear una fuerza de sustentación que mantiene la nave en el aire.

Estabilidad de una bola suspendida en un chorro de agua verticalmente hacia arriba

Si se coloca una bola en un chorro de agua dirigido hacia arriba, girará y permanecerá en el chorro de agua, incluso si el chorro de agua se mueve. La pelota es empujada hacia arriba por la fuerza del agua que la golpea, y la ecuación de Bernoulli puede explicar por qué permanece en la corriente y no se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha. Si la pelota comienza a moverse hacia un lado del agua, el agua se mueve más rápido sobre el otro lado, creando una presión menor en ese lado. La diferencia de presión crea una fuerza neta que empuja la pelota hacia la corriente de agua. A pesar de que parece que la bola podría caer fuera de la corriente con mucha facilidad, debido al principio de Bernoulli, ¡en realidad es bastante estable!

El giro de una pelota en el aire

Algo similar sucede cuando un lanzador de béisbol lanza una bola curva. Para hacer que la bola se curve a medida que viaja hacia el plato de home, el lanzador la hace girar cuando sale de su mano. A medida que la pelota gira, el aire se mueve más rápido por un lado que por el otro. Según la ecuación de Bernoulli, la presión del aire sobre la pelota es menor en el lado donde el aire se mueve más rápido y más alta en el lado donde el aire se mueve más lento. Esta diferencia de presión crea una fuerza neta que empuja la pelota hacia el lado donde la presión es menor, ¡dando como resultado una pelota curva!

Diseño aerodinámico de las alas de los aviones

Aunque las alas de los aviones no giran como una bola curva, la ecuación de Bernoulli también explica cómo su forma única crea una fuerza de sustentación que mantiene al avión en el aire. El ala de un avión tiene una forma específica conocida como perfil aerodinámico que se curva en la parte superior. Esta curva significa que el aire debe viajar más rápido por la parte superior del ala que por la parte inferior. Esto hace que la presión sea menor en la parte superior del ala y mayor debajo del ala, como predice la Ecuación de Bernoulli. Así como la diferencia de presión crea una fuerza neta sobre una bola curva que gira, también crea una fuerza neta hacia arriba, que se llama sustentación, en las alas del avión.

Ejemplos numéricos de la ecuación de Bernoulli

Además de explicar cómo las alas de los aviones mantienen a los aviones volando y los lanzadores lanzan bolas curvas, la ecuación de Bernoulli también se puede utilizar para hacer cálculos numéricos de la velocidad y la presión del fluido. Veamos algunos ejemplos de cómo hacerlo en los siguientes problemas.

Ejemplo de fluido estático

Un contenedor tiene 5,0 m de profundidad. ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo del recipiente?

Estableciendo el punto de referencia en el fondo del contenedor, h ₂ = 0 y h ₁ = 5.0 m. La presión manométrica en la superficie del agua también es 0, ya que no se aplica ninguna presión adicional que no sea la atmosférica (P ₁ = 0). La ecuación de Bernoulli se puede usar para encontrar P ₂ , la presión en el fondo del recipiente.

$$ P_ {2} = 0 + \ rho gh_ {1} = (1000 \, kg / m ^ {3}) (9,8 \, m / s ^ {2}) (5,0 \, m) = 49 000 Pa $ PS $$

Ejemplo de fluido en movimiento

La boquilla de una manguera contra incendios debe rociar agua a una velocidad mínima de 10 m / s cuando se eleva 20 m por encima del nivel del suelo. Si la manguera tiene un diámetro de 10 cm y la boquilla del extremo tiene un diámetro de 3 cm, ¿qué presión manométrica es necesaria en la manguera?
Paso 1

Elija un punto de referencia (en este caso, que será el punto más bajo de la manguera) y dibuje un boceto de la situación descrita en el problema. Rotula el área, la altura y la velocidad en los puntos inicial y final.

Paso 2

Realice los cálculos preliminares que sean necesarios. En este caso, es necesario calcular primero el área de la manguera y la boquilla:

$$ A_ {1} = \ pi r_ {1} ^ {2} = \ pi (\ frac {0.10 \, m} {2}) ^ {2} = 0.00785 \, m ^ {2} $$

$$ A_ {2} = \ pi r_ {2} ^ {2} = \ pi (\ frac {0.02 \, m} {2}) ^ {2} = 0.000314 \, m ^ {2} $$

Una vez que se han calculado las áreas, se puede usar la ecuación de continuidad para encontrar v ₁ .

$$ A_ {1} v_ {1} = A_ {2} v_ {2} $$

$$ v_ {1} = \ frac {A_ {2}} {A_ {1}} v_ {2} = \ frac {0.000314 \, m ^ {2}} {0.00785 \, m ^ {2}} (10 \, m / s) = 0.40 \, m / s $$
Paso 3

Escribe la ecuación de Bernoulli y simplifica tanto como sea posible. Aquí, h
₁ = 0 porque establecemos el punto de referencia en el punto más bajo de la manguera, y P
₂ = 0 porque la presión manométrica debe ser cero en la boquilla porque está abierta a la atmósfera circundante.

$$ P_ {1} + \ rho gh_ {1} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = P_ {2} + \ rho gh_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2} ^ {2} $$

$$ P_ {1} +0+ \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = 0 + \ rho gh_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2 } ^ {2} $$
Paso 4

Resuelva la ecuación de Bernoulli para P
₁

$$ P_ {1} = \ rho gh_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2} ^ {2} – \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2 } $$

$$ P_ {1} = (1000 \, kg / m ^ {3}) (9,8 \, \, m / s ^ {2}) (20 \, m) + \ frac {1} {2} (1000 \, kg / m ^ {3}) (10 \, m / s) ^ {2} – \ frac {1} {2} (1000 \, kg / m ^ {3}) (0.4 \, m / s ) ^ {2} = 246000 \, Pa $$

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, el agua en la manguera debe tener una presión manométrica de al menos 246.000 Pa para rociar agua desde la boquilla a la velocidad y altura requeridas.

Resumen de la lección

La ecuación de Bernoulli , que se deriva del principio de conservación de la energía , se puede utilizar para determinar la relación entre la presión (P), la velocidad (v) y la altura (h) en un fluido en movimiento o estático.

Ecuación de Bernoulli : {eq} P_ {1} + \ rho gh_ {1} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {1} ^ {2} = P_ {2} + \ rho gh_ {2} + \ frac {1} {2} \ rho v_ {2} ^ {2} {/eq}

En la ecuación de Bernoulli se puede usar la presión manométrica o la presión absoluta, pero se debe usar el mismo tipo de presión en ambos lados de la ecuación. La presión absoluta se puede encontrar agregando presión atmosférica a la presión manométrica.

Para fluidos estáticos, la ecuación de Bernoulli es la misma que la ley de Pascal : {eq} P_ {2} = P_ {1} + \ rho gh_ {1} {/eq}

La ecuación de Bernoulli solo se puede utilizar para fluidos ideales , que tienen las siguientes características:

• Los fluidos ideales son incompresibles
• Los fluidos ideales no son viscosos (no tienen fricción interna que inhiba el flujo)
• Los fluidos ideales exhiben un flujo constante (laminar), sin turbulencias

Según la ecuación de Bernoulli:

• La presión en un fluido aumenta cuando aumenta la profundidad del fluido.
• La presión en un fluido aumenta cuando la velocidad disminuye y disminuye cuando aumenta la velocidad.

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