Ecuación de expansión de Laplace y búsqueda de determinantes

Ecuación de expansión de Laplace

¿Has jugado a las damas o al ajedrez? Los colores alternos en un tablero de ajedrez recuerdan los signos alternos en la ecuación de expansión de Laplace para encontrar determinantes.

Un juego de damas.

En esta lección, exploramos la ecuación de expansión de Laplace (LEE) , un método que usa determinantes de matrices más pequeñas para encontrar el determinante de una matriz cuadrada más grande. Podemos usar la ecuación de expansión de Laplace para encontrar determinantes de matrices progresivamente más grandes y, como una estrategia de tablero de ajedrez, podemos probar la eficiencia de este método.

Rompiendo la ecuación

La ecuación de expansión de Laplace se escribe como:

¿Qué significa todo eso? Comencemos por la izquierda con el determinante de A. El determinante es un número que representa la matriz A. Los determinantes se utilizan para matrices inversas, jacobianas y geometría. La matriz A es una matriz cuadrada , un número igual de filas y columnas, a veces llamada matriz n-por-n (escrito como ‘nxn’).

‘es igual a la suma sobre j ‘: Dejamos que j sea ​​1 hasta n. Para cada j , evaluamos la expresión a la derecha de Σ. Luego sumamos cada uno de esos resultados. El orden de la matriz cuadrada es n, que es el número de filas (o columnas) en A.

‘de a i, j ‘: La a es uno de los números de la matriz A. La i y la j dan el número de fila y la ubicación del número de columna para a . La matriz es como un tablero de ajedrez donde el cuadrado superior izquierdo es la ubicación ( i = 1, j = 1).

‘multiplicado por -1 elevado a i más j ‘: -1 se eleva a la potencia de i más j . Cuando la potencia es un número par, obtenemos +1. Cuando la potencia es un número impar, obtenemos -1. Los signos se alternan como los colores del tablero de ajedrez.

‘veces M i, j ‘: El menor, M es el determinante de una matriz más pequeña dentro de la matriz A. Esto se hará más claro a medida que lo hagamos con los ejemplos.

‘para i , 1 an’: el número de fila es el valor que seleccionamos para n . No importa qué fila elijamos de 1 hasta n, obtenemos el mismo resultado final para la ecuación de expansión de Laplace.

Si hay una fila o columna con ceros, seleccionar esa fila o columna reduce el número de cálculos porque multiplicar por cero es cero; una menor menos para calcular. Por tanto, queremos seleccionar una columna en lugar de una fila. Esto simplemente significa cambiar todas las iy las j en la ecuación de expansión de Laplace.

Puede ver la ecuación de expansión de Laplace expresada con una C en lugar de la M. Esta C es el cofactor, y es la M menor con el (-1) ^ (i + j).

Es hora de volver al tablero de ajedrez.

Usando el LEE cuando N = 2

Comenzamos pequeños y gradualmente nos hacemos más grandes.

¿Qué pasaría si tuviéramos una matriz 2×2 (orden n = 2) como esta:

Es posible que sepa cómo encontrar el determinante. Multiplicar a lo largo de las diagonales nos da 4 (6) – 1 (3) = 21.

La ecuación de expansión de Laplace es esencialmente la misma, pero es más formal. Pongamos los detalles. Elegimos una de las dos filas. Por ejemplo, elegimos la primera fila: i = 1. Luego, con i = 1 yn = 2, expandimos la ecuación:

En la segunda línea, conectamos n = 2 para nuestras dos columnas. En la tercera línea tenemos un término para j = 1, y otro para j = 2. En la cuarta, sustituimos 4 y 1 por los elementos de la matriz en la fila 1, columna 1 y fila 2, columna 2. Y en la quinta línea, simplificamos los exponentes en los términos -1.

Las barras verticales son otra forma de escribir ‘det ()’. Para encontrar los menores, imagine ubicar la fila i = 1 y la columna j = 1. Esta es la esquina superior izquierda de la matriz. El número 4 está ahí. Al igual que una torre (un castillo) en el juego de ajedrez, te mueves horizontalmente a lo largo de las filas y verticalmente a lo largo de las columnas. Imagínese eliminar todos los números en la fila y columna identificados por la ubicación (1,1).

Esto deja una matriz más pequeña con solo el número 6 en ella. Tomamos el determinante y obtenemos el menor. El determinante de una matriz con un número es solo el número. El M 1,1 menor es 6. ¿Qué tal M 1,2 ? Busque la posición (1,2), que es la fila 1 y la columna 1, la esquina superior derecha. Elimina la fila y la columna, dejando una matriz cuyo determinante es 3.

Así:

¿Estás listo para un tablero de ajedrez más grande?

Usando el LEE cuando n = 3

Mejoramos nuestras habilidades encontrando el determinante de una matriz cuadrada de orden 3. Elijamos la segunda fila ( i = 2):

Como antes, reemplazaremos n = 3 para nuestras 3 columnas. Obtendremos un término para cada valor de j – 1, 2 y 3 – y simplificaremos los exponentes. Busque la ubicación en función de los subíndices, imagine eliminar la fila y la columna y tome el determinante. El menor M 2,1 :

De manera similar para M 2,2 :

Finalmente, M 2,3 :

Completando el cálculo, obtenemos 18.

Recuerde que podemos elegir cualquier fila de la matriz para realizar la ecuación de expansión de Laplace y deberíamos obtener el mismo valor para el determinante.

Operaciones matemáticas

Podemos pensar en cuán eficiente es la ecuación de expansión de Laplace para encontrar determinantes de matrices nxn más grandes en términos del número de operaciones matemáticas (MOP) requeridas. Cada multiplicación o suma es un MOP.

Para n = 2, tuvimos 2 multiplicaciones; 1 adición.

Para n = 3, teníamos 3 (2) + 3 multiplicaciones; 3 (1) + 2 adiciones.

Ahora para extender:

Para n = 4, tendremos 4 (3) (2) + 4 (3) + 4 multiplicaciones; 4 (3) (1) + 4 (2) + 3 adiciones.

Para n = 5, tendremos 5 (4) (3) (2) + 5 (4) (3) + 5 (4) + 5 multiplicaciones; 5 (4) (3) (1) + 5 (4) (2) + 5 (3) + 4 adiciones.

Cada vez que n aumenta, multiplicamos el total anterior por n. Este es el factorial de un número. Por ejemplo, 5 factorial, escrito como 5 !, es 5 (4) (3) (2) (1). Con un poco de trabajo usando series infinitas, resulta que n! es proporcional al número de MOP requeridos para las ecuaciones de expansión de Laplace. ¿Es esto importante? Respuesta: ¡increíblemente importante!

El número de MOP requeridos por otros métodos es proporcional an ^ 3. Si n es menor que 5, la ecuación de expansión de Laplace es más rápida. De lo contrario, es mejor utilizar un método n ^ 3. Poniendo esto en perspectiva: digamos que usamos un método n ^ 3 para encontrar el determinante de una matriz de 10×10. Entonces, 10 ^ 3 es 1000. ¿Qué pasa con la ecuación de expansión de Laplace? Bueno, ¡10! es 3.628.800. Si el método 10 ^ 3 tarda un segundo en calcular un determinante de orden 10, entonces la ecuación de expansión de Laplace tarda 3628,8 segundos, que es más de una hora. ¿Aún no estás impresionado? ¿Y si n es 15? Entonces, el método n ^ 3 tarda menos de 4 segundos, mientras que la ecuación de expansión de Laplace tarda más de 41 años.

¿Sigue siendo útil la ecuación de expansión de Laplace? Sí, para n menor que 5 y para el desarrollo de teorías matemáticas. Más allá de esto, una persona puede envejecer esperando un resultado. Sería mejor pasar el tiempo jugando a las damas.

Resumen de la lección

La ecuación de expansión de Laplace es un enunciado formal para encontrar el determinante de una matriz cuadrada. Este método utiliza menores , que son los determinantes de matrices más pequeñas. El número de operaciones matemáticas que utilizan este método aumenta rápidamente con el tamaño de la matriz y es proporcional al factorial de n. El orden de la matriz , n, es el número de filas (o columnas) de la matriz cuadrada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador