Ecuaciones lineales: intersecciones, forma estándar y gráficos

Cómo convertir a forma estándar

Este video trata sobre las diferentes formas de una ecuación lineal , específicamente la forma pendiente-intersección y la forma estándar, y cómo podemos graficar las líneas que se nos dan en cualquiera de esas formas. La forma pendiente-intersección ( y = mx + b ) es con la que la mayoría de la gente está familiarizada. Es el más común que ves, pero eso no significa que sea la única forma de representar una ecuación lineal.

Por ejemplo, si tuviera la recta y = 3 x + 4, dada en forma pendiente-intersección, usando operaciones inversas y tomando un 3 x positivo y deshaciéndolo con un -3 x en ambos lados, termino con la ecuación -3 x + y = 4. Estas dos ecuaciones son equivalentes. Quieren decir lo mismo. Son lo mismo, simplemente están escritos de manera diferente. Con lo que termino en este segundo es lo que se llama forma estándar . Esencialmente, porque x sy y s están en el mismo lado de la ecuación. La ecuación genérica en forma estándar es A x + B y = C.

Convertir una ecuación de pendiente-intersección a forma estándar

Esta es probablemente la segunda forma más común de una ecuación lineal que ve, pero a diferencia de la forma pendiente-intersección, las A y las B no necesariamente nos brindan información útil como la m y b en la forma pendiente-intersección. Eso no significa que todavía no haya algunas ventajas de la forma estándar sobre la forma pendiente-intersección.

Manera ‘pendiente-intersección’ de graficar una ecuación lineal

Lo que vamos a descubrir es que la orientación de las variables en forma estándar hace que encontrar las intersecciones x e y sea ​​bastante rápido y fácil, lo que nos permitirá usar una especie de atajo cuando se trata de graficar.

Aquí tenemos una pregunta que nos pide que grafiquemos la línea -3 x + 2 y = 6. Así que hagámoslo de la manera que sabemos, que es usando la forma pendiente-intersección para usar el valor my el valor b para graficar nuestro línea. Pero debido a que esto no se nos da en forma pendiente-intersección, requiere que primero lo pongamos en forma pendiente-intersección mediante el uso de operaciones inversas para obtener la y por sí misma. Esto significa que primero tenemos que deshacer el -3 x con un 3 x positivo en ambos lados; tenemos que deshacer un multiplicado por 2 con una división por 2 en ambos lados. Ahora tenemos la ecuación y = (3/2) x + 3. Esta ecuación es equivalente a la que comenzamos, simplemente escrita de otra manera.

Encontrar la forma pendiente-intersección

Ahora que está escrito en forma pendiente-intersección, sé que puedo usar mi m (mi pendiente) y mi b (mi intersección y ) para graficarlo. Empiezo en 3 en el eje y , y luego subo 3 y más de 2 para encontrar mi siguiente punto usando la pendiente. Podrías seguir subiendo 3 y más de 2 tantas veces como quisieras, pero notas que todos tus puntos están en la misma línea recta. Puedes conectar esa línea y tienes tu gráfica. Lo cual no es tan malo, pero estos pasos al principio que nos obligaron a obtener primero la y por sí mismos son innecesarios y, a veces, pueden ser un poco complicados, especialmente con las fracciones. Preferimos saber una forma de hacerlo sin tener que resolver por y .

Gráfica de la ecuación lineal y = (3/2) x + 3

Manera ‘forma estándar’ de graficar una ecuación lineal

Así que echemos un vistazo al mismo problema exacto: grafica -3 x + 2 y = 6. Pero esta vez, intenta hacerlo sin tener que hacer todos esos pasos iniciales donde obtenemos y por sí mismo usando operaciones inversas y teniendo que lidiar con fracciones y todo ese lío.

Sabemos que en la x intercepción, y es 0, y en la Y interceptación, x es 0. Así pues sabemos esto, resulta que el X y Y -intercepts son muy fáciles de encontrar. Echale un vistazo; si sé que la intersección con x en y es 0, simplemente puedo sustituir 0 por y en mi ecuación, lo que me da -3 x + (2 * 0) = 6.

Bueno, 2 * 0 simplemente se convierte en 0, por lo que este término simplemente se cancela y todo lo que nos queda son las x s, y es una división muy simple, rápida y fácil para ambos lados, porque la división deshace la multiplicación de la -3, y encontramos que x = -2, que es mi intercepción x . Entonces tengo las coordenadas (-2,0).

Puedo encontrar la intersección y exactamente de la misma manera. Esta vez, sustituyendo 0 por x , me da la ecuación 2 y = 6 porque las x s desaparecen. Nuevamente, simplemente deshago los tiempos entre 2 y los divido entre 2 y encuentro que y = 3, lo que me da el punto (0,3). Y tengo dos puntos y terminamos. Puedo poner esos dos puntos en mi gráfico – (-2,0), (0,3) – y siempre que tengas dos puntos, los conectas con tu línea, y terminamos exactamente con la misma línea que lo hice antes, pero esta vez no tuvimos que resolver para y y no tuvimos que lidiar con fracciones. En realidad, fue un poco más fácil.

Resumen de la lección

Entonces, para repasar, hemos hablado de la forma pendiente-intersección y también de la forma estándar. Probablemente también deberíamos discutir rápidamente los pros y los contras de cada uno.

La forma pendiente-intersección es un poco más intuitiva porque nos da más información directamente de la regla; nos dice la m y la b que son obvias a partir de la regla que puedo traducir rápidamente en información en la gráfica.

Pero la forma estándar es buena si estamos tratando de encontrar intersecciones porque hace que sea fácil sustituir en 0 y resolver el valor restante. Entonces, si se le da una ecuación en forma estándar y se le pide que grafique, no hay razón por la que realmente tenga que cambiarla primero a la forma pendiente-intersección, y podemos usar este atajo de encontrar las intersecciones para hacerlo sin tener hacer todo el trabajo de resolver para y .