Una función polinomial
En matemáticas, nos encontramos con todo tipo de funciones polinomiales ; son las funciones que se componen de constantes, variables y exponentes donde cada término tiene un exponente diferente para la variable de la función. Nuestros términos son combinaciones de constantes, variables y exponentes, todos multiplicados juntos, y una función polinomial son nuestros términos sumados.
Podemos tener funciones polinomiales simples, como f ( x ) = x o f ( x ) = x + 1. También podemos tener funciones más complicadas, como f ( x ) = x ^ 2 + 4 x + 3 o f ( x ) = 3 x ^ 4 + 2 x ^ 2 – x . Todas estas son funciones polinomiales. ¿Ves cómo todos estos polinomios están formados por términos que se suman? Donde tenemos resta es cuando nuestro término es negativo.
¿Qué hacemos con todos estos polinomios? Por qué, queremos resolverlos y queremos descubrir cómo se curvan o se comportan cuando se grafican. Cuando los resolvemos, encontramos dónde la función es igual a cero. Este es el comienzo de nuestra lección. El resto de nuestra lección nos enseñará cómo encontrar intervalos a partir de nuestras soluciones y cómo se comporta la función en esos intervalos.
Esta es información útil porque saber cómo se comporta nuestra función entre intervalos puede darnos una idea de qué tipo de respuestas podemos esperar de nuestra función. Seremos capaces de responder preguntas como «¿Obtendremos una respuesta positiva o negativa cuando le demos a nuestra función un valor como tres?» Estas listo para comenzar? Vamonos.
Encontrar las soluciones
Repasemos y veamos cómo resolver este polinomio: f ( x ) = ( x – 7) ( x + 1) ( x – 2). Este polinomio ya está en forma factorizada, por lo que encontrar nuestras soluciones es bastante sencillo. Establecemos nuestra función igual a 0 y luego encontramos todos los valores de x que nos darán un enunciado verdadero. Si nuestra función es igual a 0, obtenemos ( x – 7) ( x + 1) ( x – 2) = 0.
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Observamos esto y recordamos de lo que aprendimos sobre la resolución de polinomios que, dado que nuestro polinomio ya está en forma factorizada, todo lo que tenemos que hacer es igualar cada factor a 0 para encontrar nuestras soluciones: tenemos x – 7 = 0 , lo que nos da x = 7; tenemos x + 1 = 0, lo que nos da x = -1; y tenemos x – 2 = 0, lo que nos da x = 2. Entonces, nuestras soluciones son x = 7, x = -1 y x = 2.
Ahora que tenemos nuestras soluciones, podemos encontrar nuestros intervalos. Enumeramos nuestras soluciones en orden de menor a mayor. Tenemos -1, 2 y 7. Tenemos tres soluciones, lo que significa que tendremos cuatro intervalos. Tenemos un intervalo desde el infinito negativo hasta nuestra primera solución. Luego, tenemos un intervalo entre nuestra primera y segunda solución y otro intervalo entre nuestra segunda y tercera solución. Por último, tenemos un intervalo entre nuestra última solución y el infinito positivo.
Puede encontrar fácilmente el número de intervalos que tiene su función observando el número de soluciones. Su número de intervalos siempre será uno más que el número de soluciones. Si tiene dos soluciones, tendrá tres intervalos. Si tiene cuatro soluciones, tendrá cinco intervalos, y así sucesivamente.
En nuestro polinomio, tenemos tres soluciones y cuatro intervalos. Nuestros intervalos son de infinito negativo a -1, de -1 a 2, de 2 a 7 y de 7 a infinito positivo. Podemos escribir nuestros intervalos usando paréntesis como este:
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¿Es positivo o negativo?
Ahora que tenemos nuestros intervalos, podemos seguir adelante y determinar el comportamiento de nuestra función polinomial entre estos intervalos. La forma en que podemos hacer esto es elegir un número entre cada uno de nuestros intervalos y conectar ese número en nuestra función polinomial para ver si obtenemos una respuesta positiva o negativa.
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Como tenemos cuatro intervalos, elegiremos cuatro números para conectarlos y evaluarlos, uno para cada intervalo. Nuestro primer intervalo está entre infinito negativo y -1. Podemos elegir -2 ya que ese número está dentro de este intervalo. Conectando -2 en nuestro polinomio, obtenemos f (-2) = (-2 – 7) (- 2 + 1) (- 2 – 2) = (-9) (- 1) (- 4) = -36 . Nuestra respuesta es negativa, entonces nuestra función es negativa en el primer intervalo.
Veamos el segundo intervalo. Nuestro intervalo está entre -1 y 2. Podemos elegir un número fácil como 0 dentro de este intervalo. Conectando 0 en nuestra función polinomial, obtenemos f (0) = (0 – 7) (0 + 1) (0 – 2) = (-7) (1) (- 2) = 14. Nuestra respuesta es positiva, entonces nuestra función es positiva en este segundo intervalo.
¿Qué pasa con el tercer intervalo? ¿Qué número elegirías? Voy a elegir 3 porque 3 es un número más pequeño y me resulta más fácil trabajar con números más pequeños. Reemplazando 3, obtenemos f (3) = (3 – 7) (3 + 1) (3 – 2) = (-4) (4) (1) = -16. Tenemos una respuesta negativa, por lo que este tercer intervalo es negativo.
Para el último intervalo, elegiré el número 10 porque, de los dígitos más grandes, encuentro el 10 más fácil de trabajar. Puede elegir cualquier número con el que le resulte más fácil trabajar. Reemplazando 10, obtenemos f (10) = (10 – 7) (10 + 1) (10 – 2) = (3) (11) (8) = 264. Nuestra respuesta es positiva, entonces nuestra función es positiva en este intervalo. Podemos hacer una tabla con esta información:
| Intervalo | Comportamiento de la función |
|---|---|
| (infinito negativo, -1) | – |
| (-1, 2) | + |
| (2, 7) | – |
| (7, infinito positivo) | + |
A partir de esta información, vemos que nuestra función primero sube y pasa por nuestra primera solución, luego se sumerge pasando por la segunda solución, luego sube de nuevo para pasar por la tercera y última solución. Vemos que el eje x corta nuestra función en cuatro partes distintas, una para cada intervalo, que podemos ver más claramente si graficamos nuestra función:
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Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que las funciones polinomiales son las funciones que se componen de constantes, variables y exponentes donde cada término tiene un exponente diferente para la variable de la función. En matemáticas, queremos resolverlos y descubrir cómo se comportan o se curvan.
Para averiguar el comportamiento de una función, podemos encontrar los intervalos de la función y luego el comportamiento de la función en esos intervalos. Lo que buscamos en estos intervalos es si la función es positiva o negativa.
Los intervalos están separados por las soluciones de la función polinomial. Siempre habrá un intervalo más que el número de soluciones. Si hay tres soluciones, habrá cuatro intervalos. Para verificar si la función es positiva o negativa dentro de un intervalo, ingresamos un número de ese intervalo en nuestra función y luego evaluamos.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección en video, debería poder:
- Definir funciones polinomiales
- Explica cómo encontrar los intervalos de una función polinomial.
- Describe cómo usar los intervalos para averiguar el comportamiento de la función.
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