Encontrar puntos críticos en cálculo: función y gráfico

¿Qué son los puntos críticos?

Los puntos críticos son clave en el cálculo para encontrar valores máximos y mínimos de gráficos.

Digamos que compró un perro nuevo y fue a la ferretería local y compró una cerca nueva para su jardín, pero, por desgracia, no viene ensamblada. Por supuesto, esto significa que puede cercar en el tamaño de lote que desee con restricciones de cuánta cerca tiene. ¿No querrías maximizar la cantidad de espacio que tu perro tiene para correr? ¡Los puntos críticos pueden indicarle las dimensiones exactas de su patio cercado que le darán el área máxima!

Los puntos críticos en cálculo también tienen otros usos. Por ejemplo, podrían indicarle el punto más bajo o más alto de un puente colgante (suponiendo que pueda trazar el puente en un plano de coordenadas). Ahora sabemos lo que pueden hacer, pero ¿cómo los encontramos? Primero, definamos oficialmente qué son.

Definición de un punto crítico

Sea f definido en b . Si f (b) = 0 o si ‘f ‘ no es diferenciable en b , entonces b es un número crítico de f . Si este número crítico tiene un valor y correspondiente en la función f , entonces existe un punto crítico en ( b, y ).

¿Qué significa esto exactamente? Bueno, f solo representa alguna función y b representa el punto o el número que estamos buscando. La segunda parte de la definición nos dice que podemos igualar la derivada de nuestra función a cero y resolver x para obtener el número crítico. La tercera parte dice que los números críticos también pueden aparecer en valores en los que la derivada no existe. Veremos un ejemplo de esto un poco más adelante. Por último, si el número crítico puede ser conectado de nuevo en la función original, la X y Y los valores que obtenemos serán nuestros puntos críticos.

Encontrar puntos críticos

Ahora veremos una gráfica, señalaremos algunos puntos críticos y trataremos de encontrar por qué establecemos la derivada igual a cero.

Los puntos rojos en el gráfico representan los puntos críticos de esa función en particular, f (x). Es aquí donde debería empezar a hacerse algunas preguntas:

• ¿Hay algo similar en la ubicación de ambos puntos críticos? Debes buscar similitudes visuales.
• ¿Cómo se compara esto con la definición anterior?

Si comprende las respuestas a estas dos preguntas, entonces podrá comprender cómo encontramos los puntos críticos.

Observe cómo ambos puntos críticos tienden a aparecer en una joroba o curva del gráfico. Más específicamente, están ubicados en la parte superior o inferior de estas jorobas. Matemáticamente hablando, la pendiente cambia de positiva a negativa (o viceversa) en estos puntos. ¡Por eso son tan críticos!

Para entender cómo el número uno se relaciona con la deserción de un punto crítico, tenemos que recordar qué nos dice exactamente una derivada. La derivada de una función, f (x) , nos da una nueva función f (x) que representa las pendientes de las rectas tangentes en cada punto específico en f (x) . Entonces, ¿por qué establecemos esas derivadas iguales a 0 para encontrar puntos críticos? Observe el siguiente gráfico que muestra diferentes rectas tangentes af (x) :

Las líneas tangentes verdes atraviesan nuestros puntos críticos. ¿Cuál es la diferencia entre esos y los azules? Por un lado, tienen la misma pendiente, mientras que las líneas tangentes azules tienen pendientes diferentes. Por otro lado, esa pendiente es siempre un número muy específico. ¿Quién recuerda la pendiente de una línea horizontal? ¡Así es! ¡La pendiente de cada recta tangente que pasa por un punto crítico es siempre 0!

Ejemplo con gráfico

Encuentre los puntos críticos de lo siguiente:

Lo primero que podemos ver es si la función es o no diferenciable cada vez. Recuerde, una función no puede ser diferenciable en puntos donde no está definida. En este caso, x no puede ser 0.

Debemos tomar la derivada y hacerla igual a cero. Recuerde usar la regla del cociente aquí.

Ahora que ha tomado la derivada, simplifíquela y ajústela a cero.

Ahora puedes resolver x para obtener los otros números críticos. Ya nos hemos ocupado de la parte indefinida, por lo que solo necesitamos establecer la parte superior de la fracción igual a 0 y resolver.

Entonces, tenemos x = 1 y x = -1 como nuestros números críticos, pero ¿ya son puntos?

El último paso es encontrar los valores de y correspondientes conectando nuestros valores de x en f (x) .

x = 1 e y = 4 por lo que nuestro punto crítico es (1,4)

x = -1 e y = 0 por lo que nuestro punto crítico es (1,0)

Aquí está el gráfico con nuestros puntos críticos marcados.

Resumen de la lección

Revisemos.

Los puntos críticos son puntos en un gráfico en los que la pendiente cambia de signo (es decir, de positivo a negativo). Estos puntos existen en la parte superior o inferior de las ‘jorobas’ en un gráfico. También sabemos que la pendiente de la recta tangente en estos puntos es siempre 0. Podemos usar esto para resolver los puntos críticos.

Para encontrar estos puntos críticos, primero debe tomar la derivada de la función. Segundo, iguala esa derivada a 0 y resuelve para x . Cada valor de x que encuentre se conoce como un número crítico. En tercer lugar, inserte cada número crítico en la ecuación original para obtener sus valores de y . Los puntos críticos serán ( x1, y1 ), ( x2, y2 ), etc.

Lección de un vistazo

Para encontrar los valores máximo y mínimo de los gráficos, debe ubicar los puntos críticos. Los puntos críticos son puntos en un gráfico en los que la pendiente cambia de signo de positivo a negativo y viceversa. Encontrar puntos críticos puede ser esencial en aplicaciones del mundo real, como averiguar el área de un patio cercado o los puntos más bajos y más altos de un puente colgante.

• La pendiente de la recta tangente en estos puntos es siempre 0
• Tome la derivada de la función, establezca esa derivada igual a 0 y resuelva para x ( valores de x conocidos como números críticos)
• Reemplaza cada número crítico en la ecuación original para resolver los valores de y
• Puntos críticos = ( x1, y1 ), ( x2, y2 ), etc.

Los resultados del aprendizaje

Después de leer sobre los puntos críticos de esta lección, debería poder

• Definir puntos críticos
• Localizar puntos críticos en un gráfico
• Resolver una función para puntos críticos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador