Escribir expresiones equivalentes: definición y ejemplos

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una serie de números, variables, operaciones matemáticas y posiblemente exponentes. Por ejemplo, 4 x + 3 es una expresión algebraica básica. O podríamos volvernos un poco más complejos con 3 x (2 x ^ 2 + 2 x – 5) + 6 y . Observe que ambos ejemplos contienen los elementos enumerados anteriormente de una expresión algebraica: números, variables y operaciones matemáticas, y la segunda expresión contiene el exponente opcional.

También observe que no hay signo igual en una expresión algebraica. Si hubiera una, sería una ecuación o una oración numérica que involucra una o más variables. Por ejemplo: 2 x + 1 = 3. Una ecuación tiene una solución específica o un conjunto de soluciones que harán que la oración numérica sea verdadera. En este caso, la ecuación es una oración numérica verdadera cuando x = 1. Hay una solución específica. Sin embargo, en una expresión, dado que no hay un signo igual, las variables pueden ser variables. No buscamos valores específicos que los sustituyan.

Expresiones equivalentes

Echemos un vistazo a las expresiones equivalentes. ¿Qué son? Como sugiere el nombre, las expresiones equivalentes son expresiones algebraicas que, aunque se ven diferentes, resultan ser realmente iguales. Y como son iguales, producirán los mismos resultados sin importar qué números sustituyamos por sus variables.

Consideremos esta expresión algebraica: 2 ( x ^ 2 + x ). Si sustituimos 1 por la variable, la expresión es igual a 4. Pero, ¿qué pasa con la expresión 2 x ^ 2 + 2 x ? Si, nuevamente, sustituimos 1 por la variable x , aún obtenemos 4. ¿Cómo sucede esto?

Lo que realmente hicimos fue simplificar la expresión original distribuyendo el 2 en la parte entre paréntesis. Así que realmente no hemos cambiado la expresión en absoluto; todo lo que hemos hecho es reescribirla en una forma diferente.

Debido a que estas dos expresiones son realmente iguales, no importa qué número sustituyamos por x , los resultados siempre serán idénticos. Si usamos 0, ambas expresiones salen a 0. Si usamos 10, ambas expresiones salen a 220. Si usamos 100, ambas expresiones salen a 20,200. Obtenemos el mismo resultado sin importar cuán grande o pequeño sea el número que usemos para x .

Cuidado con la no equivalencia

Algunas expresiones darán el mismo resultado para ciertos números, pero no todos. Por ejemplo, consideremos las siguientes expresiones:

• 3 x + 1
• 2 x + 2

Si sustituimos 1 por la variable x , ambas expresiones son 4. Pero, ¿qué pasa si cambiamos ese número a, digamos 0, la primera expresión es igual a 1, mientras que la segunda es igual a 2. Por qué las expresiones dan la misma respuesta para un valor y no otro? ¡No son expresiones equivalentes!

Recuerde que anteriormente descubrimos que las expresiones equivalentes son realmente iguales aunque se vean diferentes. Uno simplemente se simplifica para dar el segundo. Sin embargo, ese no es el caso aquí. Las dos expresiones anteriores son completamente diferentes. Es solo una casualidad que den la misma solución cuando sustituimos 1 por x .

De hecho, si graficamos las dos expresiones, podemos ver que solo se cruzan en ese punto en el que dan lugar a soluciones idénticas. Sin embargo, tienen sus propias pistas antes y después de ese punto porque no son expresiones equivalentes. Ya que estamos en eso, veamos qué sucede cuando graficamos las siguientes expresiones equivalentes:

• x + x + 2
• 2 x + 2

¿Por qué hay una sola línea? Bueno, dado que las expresiones equivalentes producen soluciones idénticas para todos los valores, sus gráficas son exactamente las mismas. Si quisiéramos, podríamos graficar cien expresiones equivalentes, y el resultado seguiría siendo una línea porque todas las expresiones producirían las mismas soluciones.

Entonces, si alguna vez tiene dudas sobre si dos expresiones son realmente equivalentes, intente agregar varios valores diferentes para las variables de las expresiones. Si las expresiones son realmente equivalentes, producirán soluciones idénticas para todos los valores.

Resumen de la lección

Revisemos. Aunque dos expresiones pueden parecer diferentes, en realidad pueden ser la misma expresión escrita de diferentes maneras. Por ejemplo, 2 x – x + y y x + y pueden verse diferentes, pero todo lo que hemos hecho es simplificar la parte 2 x – x ‘de la expresión ax . Entonces, las dos expresiones realmente dicen lo mismo aunque parezcan diferentes. Por lo tanto, son expresiones equivalentes , y no importa qué valores sustituyamos por x e y , ¡las expresiones siempre darán respuestas idénticas!

Términos clave

Expresión algebraica: una cadena de números, variables, operaciones matemáticas y posiblemente exponentes.

Ecuación: una oración numérica que involucra una o más variables

Expresiones equivalentes: expresiones algebraicas que se ven diferentes, pero son iguales y dan los mismos resultados.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que termine esta lección, confirme su comprensión completando estas acciones:

• Definir expresiones algebraicas y equivalentes, así como terminología relacionada, y dar ejemplos.
• Determinar si dos expresiones son realmente equivalentes