Escribir y graficar funciones exponenciales

Funciones exponenciales

Suponga que alguien le va a vender su sofá y le ofrece dos opciones de pago. Dicen que puede darles $ 200 ahora mismo, o puede darles un centavo hoy, dos centavos mañana, cuatro centavos al día siguiente, y continuar con este patrón de duplicar la cantidad de centavos del día anterior durante 20 días. ¿Qué pago cree que aceptaría?

Puede pensar que la opción del centavo parece que pagará mucho menos de $ 200. Después de todo, ¡son solo unos centavos! Sin embargo, es posible que se sorprenda al saber que, aunque esta opción parece crecer lentamente al principio, la cantidad que se paga cada día rápidamente se volverá muy grande. Ésta es una característica de una función exponencial. Las funciones exponenciales son funciones que tienen una variable en el exponente. La cantidad de centavos que tendría que pagarles el día x se puede modelar mediante la función exponencial f ( x ) = 2 x .

Suponga que decide optar por la opción de un centavo, porque le parecía un mejor trato. Para el día 20, tendrías que pagarles f (20) = 2 20 = 1,048,576 centavos, que son $ 10,485.76. ¡Guau! ¡Eso es mucho dinero, y eso se suma a todos los centavos que tuvo que darles en los días 1 al 19! Es dolorosamente obvio que debería haber elegido la opción de $ 200.

Propiedades de las funciones exponenciales

La forma general de una función exponencial es la siguiente:

Las funciones exponenciales en forma general, f ( x ) = a b x , donde b > 0, tienen las siguientes propiedades:

• El dominio de f son todos los números reales.
• La intersección con el eje y de f es el punto (0, a ).
• La gráfica de f tiene el eje x como una asíntota horizontal. Es decir, la gráfica se acerca al eje x , pero nunca lo toca.
• Cuando a es positivo, tenemos lo siguiente: cuando b > 1, la función aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, y cuando 0 < b <1, la función disminuye rápidamente al principio y luego más lentamente.
• Cuando a es negativo, tenemos lo siguiente: cuando b > 1, la función disminuye lentamente al principio y luego más rápidamente, y cuando 0 < b <1, la función aumenta rápidamente al principio y luego más lentamente.

Las dos últimas propiedades dan paso a las siguientes formas generales de una función exponencial.

Podemos usar estas propiedades para graficar funciones exponenciales.

Graficar funciones exponenciales

Hablemos un poco sobre graficar funciones exponenciales usando las propiedades de funciones exponenciales. Observa la función exponencial de nuestro ejemplo inicial f ( x ) = 2 x . Esta función tiene coeficiente 1, base 2 y exponente x . Por tanto, tiene las siguientes propiedades.

• Dominio = todos los números reales
• intersección y = (0, 1)
• El eje x es una asíntota horizontal
• Dado que a = 1 es positivo y b = 2> 1, la gráfica aumenta y adopta la siguiente forma general.

Juntando todo esto, tenemos una idea general de cómo se verá el gráfico ahora. Sabemos que el lado izquierdo de la gráfica se acercará al eje x , la intersección con el eje y es (0, 1) y el lado derecho de la función aumentará cada vez más rápidamente. Por lo tanto, para representar gráficamente la función, representamos gráficamente la y intercepción y algunos otros puntos que satisfacen la función, por ejemplo (1, 2), (2, 4) y (3, 8), y luego conectar los puntos usando una curva de que toma la forma general del gráfico.

Eso no es demasiado difícil, ¿verdad? Ser capaz de graficar funciones exponenciales hace que analizar la función sea mucho más fácil.

Otro ejemplo

Un área en la que suelen aparecer las funciones exponenciales es en las finanzas, especialmente en los problemas de interés. Una función exponencial conocida es la función que representa la cantidad de dinero en una cuenta después de x años, cuando el interés se capitaliza anualmente. Esta función es la siguiente.

Por ejemplo, suponga que debe invertir $ 200 en una cuenta que paga un interés del 5% compuesto anualmente. La cantidad en la cuenta después de x años estaría representada por la siguiente función

f ( x ) = 200 (1 + .05) x

Podemos simplificar esto para obtener la función en forma general y luego graficarla.

f ( x ) = 200 (1.05) x

En esta función a = 200, b = 1.05 y el exponente es x . Esto da paso a las siguientes propiedades.

• Dominio = todos los números reales
• intersección y = (0, 200)
• el eje x es una asíntota horizontal
• Dado que a = 200 es positivo y b = 1.05> 1, la gráfica aumenta y adquiere la siguiente forma general.

Todo lo que tenemos que hacer ahora es trazar la Y interceptación y unos pocos más puntos que satisfacen la función y conectar los puntos adecuadamente. Busquemos algunos puntos que satisfagan la función.

Ahora pongamos todo esto junto en un gráfico.

Resumen de la lección

Las funciones exponenciales son funciones que contienen una variable en el exponente. La forma general de una función exponencial es f ( x ) = a b x , y tiene las siguientes propiedades.

• El dominio de f son todos los números reales.
• La intersección con el eje y de f es el punto (0, a ).
• La gráfica de f tiene el eje x como una asíntota horizontal. Es decir, la gráfica se acerca al eje x , pero nunca lo toca.
• Cuando a es positivo, tenemos lo siguiente: cuando b > 1, la función aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, y cuando 0 < b <1, la función disminuye rápidamente al principio y luego más lentamente.
• Cuando a es negativo, tenemos lo siguiente: cuando b > 1, la función disminuye lentamente al principio y luego más rápidamente, y cuando 0 < b <1, la función aumenta rápidamente al principio y luego más lentamente.

Podemos usar estas propiedades para graficar funciones exponenciales. Para ello, se traza la Y interceptación y algunos otros puntos que satisfacen la función, y luego conectar los puntos de tal manera que satisfaga todas las propiedades.

Como hemos visto, las funciones exponenciales aparecen con mucha frecuencia en el mundo real. Ahora que está familiarizado con este tipo de funciones y cómo se comportan, ¡nadie podrá engañarlo para que pague demasiado dinero por un sofá nuevamente!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador