Estiramiento y compresión de gráficos logarítmicos

Un gráfico logarítmico

Esta lección trata sobre cómo cambiar la función logarítmica y su gráfica resultante. Matemáticamente, definimos funciones logarítmicas como funciones inversas de funciones exponenciales. Sabrá cuando esté mirando una función logarítmica porque verá el operador de registro. Los tipos de cambios que realizaremos en nuestras funciones logarítmicas son estiramiento y compresión horizontal y vertical. Cuando estiramos una función, la hacemos más grande de alguna manera. Entonces, el estiramiento horizontal significa que aumentamos la función horizontalmente. Cuando comprimimos una función, la reducimos de alguna manera. Entonces, la compresión vertical significa que hacemos la función más pequeña verticalmente. Nuestra función logarítmica general es de esta forma:

La una y b representan números. Recuerde, nuestra función de registro puede tener diferentes bases. Podemos tener una función de registro en la segunda, tercera o cuarta base y así sucesivamente. La base estándar es la base 10. Esta es la función logarítmica que se usa en las calculadoras. Para la función logarítmica donde nuestra a y b es 1, f (x) = log ( x ), obtenemos una gráfica como esta.

Como podemos ver en el gráfico, esta función tiene una intersección x en x = 1. También vemos que la gráfica no cruza el y eje x, por lo que no tiene y intercepción. Ahora vamos a ver lo que sucede cuando cambiamos de unos y b valores.

Compresión horizontal

Cuando nuestros valores de b son mayores que 1, nuestra función se encogerá o se hará más pequeña horizontalmente. Echemos un vistazo a algunos valores diferentes para b . Echemos un vistazo a las gráficas de log ( x ), log (2 x ), log (3 x ) y log (4 x ). Veamos qué hacen las gráficas de estas funciones.

El gráfico rojo es la función log ( x ), el gráfico azul es la función log (2 x ), el gráfico verde es la función log (3 x ) y el gráfico púrpura es la función log (4 x ). Ahora, observe dónde se cruzan estas funciones con el eje x . ¿Ves que se mueve? A medida que nuestros valores b se vuelven mayores que 1, nuestras intersecciones x disminuyen. Se está encogiendo. Cuanto más comprimimos, más pequeña es nuestra intercepción x .

Estiramiento horizontal

Si nuestro valor b es menor que 1 pero mayor que 0, entonces tendremos estiramiento horizontal. Veamos qué hace la gráfica para log ( x ), log ( x / 2), log ( x / 3) y log ( x / 4).

Aquí, tenemos nuestra gráfica roja que es la función log ( x ), la gráfica azul es la función log ( x / 2), la gráfica verde es la función log ( x / 3) y la gráfica violeta es la función log ( x / 4). Dado que nuestras intercepciones x se hicieron más pequeñas cuando comprimíamos nuestra función horizontalmente, ahora cuando estiramos horizontalmente nuestra función, las intersecciones x se hacen más grandes.

Estiramiento vertical

Ahora, vamos a ver lo que sucede cuando ajustamos el un valor de nuestra función logarítmica. Cuando aumentamos nuestras unos valores a mayor que 1, vemos que se extiende vertical. Aquí hay un gráfico que muestra las funciones log ( x ), 2log ( x ), 3log ( x ) y 4log ( x ).

Aquí tenemos log ( x ) como rojo, 2log ( x ) como azul, 3log ( x ) como verde y 4log ( x ) como morado. ¿Qué notas sobre estas gráficas que sea diferente a las gráficas de estiramiento y compresión horizontal? ¿Ves cómo la intersección x sigue siendo la misma para todas las funciones de registro? Cuando no cambiamos el valor b de nuestra función de registro, entonces nuestra intercepción x no cambiará. Podemos ver que tenemos vertical, que se extiende como nuestra función va más y más alto a medida que aumentamos nuestras unos valores a mayor que 1.

Compresión vertical

Si pensó que obtenemos compresión vertical cuando nuestros unos valores están comprendidos entre 0 y 1, a continuación, acertaste. Grafiquemos las funciones log ( x ), (1/2) log ( x ), (1/3) log ( x ) y (1/4) log ( x ).

Nuestro rojo es log ( x ), nuestro azul es (1/2) log ( x ), nuestro verde es (1/3) log ( x ) y nuestro morado es (1/4) log ( x ). A medida que nuestros a los valores se hacen más pequeños que 1 pero todavía quedan por encima de 0, nuestra función de registro se hace más pequeño verticalmente.

Combinación

Podemos tener funciones de registro que utilicen una combinación de las anteriores. La función (1/2) log (3 x ), por ejemplo, tiene una compresión vertical y una compresión horizontal.

Aquí, puede ver la función en naranja en comparación con la función log ( x ) en rojo. Puede ver la compresión horizontal junto con la compresión vertical.

Podemos tener estas cuatro combinaciones posibles:

• Compresión vertical con compresión horizontal
• Compresión vertical con estiramiento horizontal
• Estiramiento vertical con compresión horizontal
• Estiramiento vertical con estiramiento horizontal

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Las funciones logarítmicas son funciones inversas de funciones exponenciales. Nuestra función logarítmica general sigue esta forma:

Podemos resumir nuestra información de estiramiento y compresión en esta tabla. La una y b se refieren a los unos y b valores en nuestra función logarítmica general.

Podemos combinar este estiramiento y compresión de cuatro formas diferentes en cualquier función de registro.

• Compresión vertical con compresión horizontal
• Compresión vertical con estiramiento horizontal
• Estiramiento vertical con compresión horizontal
• Estiramiento vertical con estiramiento horizontal

Rodrigo Ricardo Editor y fundador