Estirar y comprimir una función

Funciones de estiramiento y compresión

Sabías que podías graficar funciones. Los valores x , o entrada, de la función van en el eje x del gráfico, y los valores f ( x ) también llamados valores y , o salida, van en el eje y del gráfico. ¿Pero sabías que puedes estirar y comprimir esos gráficos, vertical y horizontalmente?

Los cambios simples en la ecuación de una función pueden cambiar la gráfica de la función de manera predecible. En esta lección, repasaremos cuatro cambios diferentes: estiramiento vertical, compresión vertical, estiramiento horizontal y compresión horizontal.

Estiramiento y compresión verticales

En lugar de comenzar con un montón de matemáticas, comencemos a pensar en el estiramiento y la compresión verticales con solo mirar los gráficos. El estiramiento vertical significa que la función se estira verticalmente, por lo que es más alta. La compresión vertical significa que la función se reduce verticalmente, por lo que es más corta. Así es como se ven realmente el estiramiento y la compresión. Ahora es el momento de entrar en las matemáticas de cómo podemos cambiar la función para estirar o comprimir el gráfico.

En la gráfica de una función, F ( x ), o los valores de salida de la función, se trazan en el eje y . Una función que se estira verticalmente tiene valores de y más grandes para cualquier valor dado de x , y una función que se comprime verticalmente tiene valores de y más pequeños para cualquier valor dado de x .

Por ejemplo, observe el gráfico de una función comprimida y estirada.

Mira el valor de la función donde x = 0. Puedes ver que para la función original donde x = 0, hay algún valor de y que es mayor que 0. Para la función extendida, el valor de y en x = 0 es mayor de lo que es para la función original. Para la función comprimida, el valor de y es menor.

Ahora veamos qué tipo de cambios en la ecuación de la función se asignan a esos cambios en el gráfico.

Para estirar verticalmente una función, multiplique la función completa por un número mayor que 1. Esto básicamente significa que lo que normalmente obtendría de la función como un valor de y , tómelo y multiplíquelo por 2, 3 o 4 para obtener el nuevo valor de y más alto . Así es como se obtiene un valor de y más alto para cualquier valor dado de x .

Para comprimir verticalmente una función, multiplique la función completa por un número menor que 1. Esto es lo opuesto al estiramiento vertical: lo que normalmente obtendría de la función, lo multiplica por 1/2 o 1/3 o 1/4 para obtener el nuevo valor y más pequeño .

Eso es genial, pero ¿cómo sabe cuánto está estirando o comprimiendo la función? En general, si y = F ( x ) es la función original, entonces puede estirar o comprimir verticalmente esa función multiplicándola por algún número a :

Si una > 1, a continuación, un F ( x ) se extiende verticalmente por un factor de un . Por ejemplo, si multiplica la función por 2, entonces cada nuevo valor de y es el doble.

Si 0 < a <1, entonces aF ( x ) se comprime verticalmente por un factor de a .

Estiramiento y compresión horizontal

Así era como hacer una función más alta y más corta. Pero, ¿qué hay de hacerlo más ancho y más estrecho? Eso es estiramiento y compresión horizontales. Veamos el estiramiento y la compresión horizontales de la misma manera, comenzando con las imágenes y luego pasando a las matemáticas reales.

El estiramiento horizontal significa que necesita un valor x mayor para obtener cualquier valor y dado como resultado de la función. Puedes ver esto en el gráfico. Vea cómo el valor máximo de y es el mismo para todas las funciones, pero para la función extendida, el valor de x correspondiente es mayor.

La compresión horizontal significa que necesita un valor de x más pequeño para obtener cualquier valor de y dado . Esto también se muestra en el gráfico. Mire la función comprimida: el valor máximo de y es el mismo, pero el valor de x correspondiente es menor.

En términos matemáticos, puede estirar o comprimir una función horizontalmente multiplicando x por algún número antes de cualquier otra operación. Para estirar la función, multiplique por una fracción entre 0 y 1. Para comprimir la función, multiplique por un número mayor que 1.

Esto parece realmente extraño y contrario a la intuición, porque el estiramiento hace que las cosas sean más grandes, entonces, ¿por qué multiplicarías x por una fracción para estirar horizontalmente la función? Pero intente pensarlo de esta manera. Cuando estira una función horizontalmente, necesita un número mayor para x para obtener el mismo número para y .

Por ejemplo, digamos que en la función original, conectó 5 para x y obtuvo 10 para y . Ahora quiere conectar 10 por x y sacar 10 por y . ¿Cómo es posible que eso suceda? Bueno, podría cambiar la función para multiplicar x por 1/2 antes de realizar cualquier otra operación, de modo que pueda insertar 10 donde solía tener 5 y obtener el mismo valor para y al final.

También puede usar ese número por el que multiplica x para saber cuánto está estirando o comprimiendo horizontalmente la función. Digamos que tomamos nuestra función original F ( x ) y multiplicamos x por algún número b .

Si 0 < b <1, entonces F ( bx ) se estira horizontalmente por un factor de 1 / b . Nuevamente, eso es un poco contrario a la intuición, pero piense en el ejemplo en el que multiplicó x por 1/2 para que el valor de x necesario para obtener el mismo valor de y sea ​​10 en lugar de 5. Estiró su función en 1 / (1 / 2), que es solo 2.

De manera similar, si b > 1, entonces F ( bx ) se comprime horizontalmente por un factor de 1 / b .

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre las funciones de estiramiento y compresión, vertical y horizontalmente.

• El estiramiento vertical significa aumentar el valor de y para cualquier valor dado de x , y puede hacerlo multiplicando toda la función por algo mayor que 1
• La compresión vertical significa hacer que el valor de y sea más pequeño para cualquier valor dado de x , y puede hacerlo multiplicando la función completa por algo menos que 1
• El estiramiento horizontal significa aumentar el valor de x para cualquier valor dado de y , y puede hacerlo multiplicando x por una fracción antes de cualquier otra operación.
• La compresión horizontal significa reducir el valor de x para cualquier valor dado de y , y puede hacerlo multiplicando x por algo más de 1 antes de cualquier otra operación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador