Rodrigo Ricardo

Factorizar ecuaciones cuadráticas: problemas polinomiales con un coeficiente principal distinto de 1

Publicado el 18 septiembre, 2020

Factorizar ecuaciones cuadráticas


Factorizar una expresión cuadrática implica convertir un trinomio en la multiplicación de dos binomios.
expresión cuadrática

Esta lección tratará sobre técnicas avanzadas de factorización, así que voy a asumir que sabes algunas cosas: primero, que factorizar es el proceso de dividir un número en las cosas que podemos multiplicar para obtener ese número. Esto significa que factorizar una expresión cuadrática es el proceso de tomar un trinomio y convertirlo en una multiplicación de dos binomios, básicamente FOIL al revés. Hacemos esto buscando un par de números que tengan un producto igual a la constante al final del trinomio y una suma igual al coeficiente de las x . Por ejemplo, convertir x 2 – 3 x – 10 en ( x + 2) ( x – 5) al darse cuenta de que 2 * -5 = -10 y 2 + -5 = -3.

¿Entonces, dónde vamos desde aquí? ¿Qué más hay que saber? Bueno, el método que acabo de describir solo funciona para trinomios cuadráticos donde el coeficiente principal (el número delante de la x al cuadrado) es igual a 1. Tan pronto como se nos pida que factoricemos algo más, como 2 x 2 – 5 x – 3, vamos a tener problemas. El objetivo sigue siendo el mismo: dividir el trinomio en un producto de binomios, y todavía encontraremos muchos de los mismos patrones, pero ahora tendremos que hacer dos pequeños cambios en el proceso para terminar con el respuesta correcta. Sigamos adelante y echemos un vistazo al ejemplo que acabo de mencionar.

Ajustar el patrón

Factoriza 2 x 2 – 5 x – 3.


Un ejemplo de factorización cuadrática
factorizar cuadráticas

Comenzaremos este problema de manera muy similar a los problemas simples de factorización, buscando dos números que se ajusten al patrón. La cuestión es que no va a ser exactamente el mismo patrón. Una parte permanece igual, y ese es el hecho de que necesitamos encontrar un par de números que sumen el coeficiente medio, en este caso, -5. Pero la segunda parte va a ser diferente. En lugar de que nuestros dos números necesiten tener un producto igual a la constante al final, ahora necesitamos que el producto de nuestro par de números sea igual a la constante al final por el coeficiente principal. Esto también era cierto para los problemas de factorización más fáciles, pero el coeficiente principal era solo 1, por lo que multiplicar por 1 no cambió el número.

El siguiente paso del problema debería resultar familiar. Encuentra un par de números que sumen -5 y un producto de -6. Hacer una lista rápida de los pares de factores de 6 y tener en cuenta que necesitaremos que uno sea positivo y otro negativo, deja en claro que -6 y +1 son nuestros dos ganadores. Y ahora llegamos a la única otra diferencia en nuestro proceso. En lugar de simplemente poder decir -6 y +1 en nuestros binomios y hemos terminado, hay un paso adicional antes de que podamos estar seguros de nuestra respuesta. Si bien hay varias formas de realizar este paso, recomiendo usar el método del área para retroceder hasta la respuesta. Poniendo el 2 x 2 y el -3 en una diagonal del gráfico y los dos valores que obtuvimos usando nuestro patrón adjunto con xestá en la otra diagonal, nos aleja un paso de nuestra respuesta.

2 x 2-6 x
X-3

Si podemos encontrar qué términos deben haber estado en el exterior de este cuadro para multiplicarlos y darnos lo que tenemos aquí, habremos terminado. Hacemos esto dividiendo el máximo común divisor de cada fila y columna de nuestro gráfico. Entonces, si miro la fila superior de este gráfico, tengo un 2 x 2 y -6 x . Necesito preguntarme qué tienen esas cosas en común. Bueno, 2 y 6 son ambos divisibles por 2, así que puedo sacar un 2. Pero ambos también tienen una x , lo que significa que también saco una x , por lo que puedo sacar un 2 x hacia el exterior de esa fila. Bajando una fila hasta la parte inferior, 1 xy -3, no tienen ningún factor con los números en común, y tampoco tienen ninguna variable en común, lo que significa que lo único que puedo dividir es un 1. Ahora, vamos a las columnas. Comencemos en la columna de la izquierda, 2 x 2 y 1 x . Los números no tienen nada en común, pero las variables sí, lo que significa que puedo sacar 1 x . Finalmente, la columna de la derecha: -6 x y -3. Ambos comparten un -3, lo que significa que lo divido y lo escribo en la parte superior. Lo que ahora tenemos a la izquierda y arriba de nuestro modelo de área pequeña es nuestra respuesta factorizada. Los términos que están en el mismo lado son los términos que van entre paréntesis para formar nuestros dos binomios, y termino con (2 x + 1) ( x– 3). Siempre puede multiplicar rápidamente su respuesta para asegurarse de que obtuvo lo correcto, y si lo hace aquí, parece que estamos bien.

Factorizar cuadráticas como esta toma un tiempo y no siempre son simples, por lo que la práctica es clave. Hagamos un ejemplo más durante esta lección.


Multiplique la respuesta para asegurarse de que sea correcta.
ajustando el patrón

Otro ejemplo

Factor 9 x 2 – 4.

Este ejemplo no solo es otro con un coeficiente principal distinto de 1, sino que también es un ejemplo de una cuadrática especial que a menudo confunde a los estudiantes. ¿Por qué? ¡Porque no hay x en el medio! ¡No es un trinomio! Pero eso está bien. Piense en este problema como si fuera este: Factor 9 x 2 + 0x – 4. Ahora estamos listos para comenzar. Comenzamos por encontrar los dos números que se ajustan al patrón. Para este, tendrán que sumar cero (el término medio) y multiplicar a -36, que era el 9 al frente por el -4 al final. Examinar rápidamente nuestras opciones aquí y saber que vamos a tener que sumar hasta cero hace que sea bastante obvio que 6 y -6 serán nuestros ganadores. Ahora que tenemos estos dos valores, podemos completar nuestro modelo de área.y el -4 en una diagonal y el 6 x y -6 x en la otra, pero en realidad no importa en qué diagonal o incluso en qué orden los coloque; ¡Todos van a trabajar! Por último, necesitamos dividir los mayores factores comunes de cada fila y columna para averiguar qué binomios existen en el exterior de este gráfico.

9 x 2-6 x
6 x-4

Mirando la fila superior, parece que ambos tienen un 3 y una x . La fila inferior, ambos números son divisibles por 2. La columna de la izquierda, veo un 3 y una x nuevamente, y la columna de la derecha, ambas tienen un -2, así que puedo sacar eso. Reescribir los términos de cada lado entre paréntesis como binomios dice que la forma factorizada de esto es (3 x + 2) (3 x – 2).

Resumen de la lección

Los problemas de factorización con un coeficiente principal que no es 1 tienen dos diferencias con sus contrapartes más simples. Primero, el patrón que usamos para determinar el par de números que nos ayudarán a encontrar nuestra respuesta ahora requiere que encuentre dos números que tengan un producto igual a la constante por el coeficiente principal, en lugar de ser simplemente el coeficiente principal como antes.

En segundo lugar, una vez que obtenga el par de números que se ajustan al patrón, debe sustituir esos números en un modelo de área y factorizar los mayores factores comunes para determinar la respuesta. Si se te pide que factorices una cuadrática que no tiene un término x , imagina que hay un término 0 x en el medio y continúa resolviendo el problema como lo harías normalmente.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá factorizar ecuaciones con un coeficiente principal que no sea 1.

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