Fórmula explícita
Papá, ¿qué es una fórmula explícita?
Como muchas otras personas en el mundo, las matemáticas son la debilidad de mi hija, y le toma varios intentos, cada uno con un método de entrega cambiado, antes de que obtenga su ‘¡Oh! ¡Lo entiendo!’ momento.
Le expliqué que la fórmula explícita , es una fórmula para encontrar el n º término de una secuencia. Su expresión estaba en blanco, y me di cuenta de que para poder presentarle esto mejor, tendría que proporcionarle algunos antecedentes.
Secuencia
Una secuencia es un conjunto de números que comparten un patrón. Cada número de la secuencia es un término. Hay un total de 6 términos en esta secuencia en la pantalla. Una secuencia infinita, o interminable, se representa con tres puntos (…).
Una secuencia aritmética tiene un patrón que suma o resta el mismo número a cada término. Tome la secuencia de 0,2,4,6,8,10 … Debido a que agregamos dos a todos y cada uno de los términos, es una secuencia aritmética.
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Una secuencia geométrica tiene una razón común entre términos. Una secuencia de 4, 12, 36, 108, 324 … tiene una razón común de 3.
Definición de fórmula explícita
Ahora que sabemos cuáles son los dos tipos diferentes de sucesiones, aritmética y geométrica, podemos profundizar en qué significa exactamente explícito, cuáles son las fórmulas para las diferentes secuencias y cómo podemos aplicarlas para identificar términos específicos.
Como se ha mencionado, una fórmula explícita es una fórmula que podemos utilizar para encontrar el n º término de una secuencia. En la definición más sencilla, explícito significa exacto o definido. La fórmula es explícita porque mientras que se aplica correctamente, el n º plazo se puede determinar. Las secuencias aritméticas y geométricas tienen diferentes fórmulas explícitas.
Fórmula explícita para una secuencia aritmética
La fórmula explícita para una secuencia aritmética es un sub n = un sub 1 + d ( n -1)
¡Que no cunda el pánico! Tendrá más sentido una vez que lo analicemos. La a sub n se compone de a , que representa un término, y la n , que representa el lugar del término (primero, segundo, tercero, etc.). El 1 que restamos de la n en la fórmula representa el término anterior. La siguiente pieza del rompecabezas es un sub 1. Este es el primer término que aparece en la secuencia. Finalmente, d representa la diferencia entre los términos o cuántos sumas o restas del término uno al término dos.
Efecto Multiplicador: Definición y fórmula
Ahora, en tres sencillos pasos, usemos la secuencia aritmética anterior de 0,2,4,6,8,10 … para descubrir nuestra fórmula explícita.
- Indique la fórmula aritmética: a sub n = a sub 1 + d ( n -1)
- ¿Que sabes? Sabemos que el primer término enumerado en la secuencia es 0, por lo que un sub 1 = 0. También sabemos que estamos agregando 2 a cada término anterior, por lo que d = 2
- Inserta lo que sabes en la fórmula y resuelve la ecuación:
- un sub n = 0 + 2 ( n – 1)
- a sub n = 0 + 2 n – 2 (nota: use el método de la lámina 2 veces n + 2 veces -1)
- un sub n = 2 n – 2
Y ahí lo tienen, la fórmula explícita para nuestra secuencia aritmética es una sub n = 2 n – 2!
Probablemente estés pensando, ‘¿qué hago con él ahora?’ Bueno, ahora puedes encontrar cualquier término dentro de esta secuencia infinita. ¿Qué pasa si tu tarea requiere que encuentres el término 30 de la secuencia? ¡No hay problema! Simplemente ingrese lo que sabe en la fórmula explícita que acabamos de identificar así:
a sub n = 2 n – 2 donde n = 30 (ya que está buscando el término número 30)
a sub 30 = 2 (30) – 2
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un sub 30 = 60 – 2 = 58
¡Tu trigésimo término en la secuencia es 58!
Fórmula explícita para una secuencia geométrica
Movimiento de Let a la fórmula explícita para una secuencia geométrica, que es un sub n = un sub 1 ( r ) ^ ( n -1). Nuevamente, nuestro a sub 1 representa el primer término de la secuencia geométrica, n representa el lugar del término y r representa nuestra razón común.
Para hacerlo simple, usaremos la secuencia geométrica mencionada anteriormente de 4, 12, 36, 108, 324, … También hemos determinado previamente que nuestra razón común era 3. Recuerda que obtuvimos esta razón tomando cada término subsiguiente y dividiendo por su predecesor. Ahora simplemente ingrese lo que sabe para obtener la fórmula explícita de esta secuencia geométrica en particular.
- Indique la fórmula geométrica: a sub n = a sub 1 ( r ) ^ ( n -1)
- ¿Que sabes? Sabemos que el primer término que aparece en la secuencia es 4 así un sub 1 = 4. también sabemos que estamos multiplicando cada término por 3, de manera r = 3.
- Inserta lo que sabes en la fórmula y resuelve la ecuación:
- un sub n = un sub 1 ( r ) ^ ( n -1)
- un sub n = 4 (3) ^ ( n -1)
Ahora que tenemos nuestra fórmula explícita para la secuencia geométrica, podemos encontrar cualquier término dentro de esa secuencia. Suponga que desea encontrar el décimo término de la secuencia. Conecte lo que sabe en la fórmula de esta manera:
a sub n = 4 (3) ^ ( n -1) (donde n = 10 ya que está buscando el décimo término)
a sub 10 = 4 (3) ^ (10-1) = 9
a sub 10 = 4 (3) ^ 9 = 4 (19,683) (nota: no olvides que tus exponentes se resuelven antes de la multiplicación)
un sub 10 = 78,732
¡Tu décimo término en la secuencia es 78,732!
Resumen de la lección
Acaba de aprender que una secuencia es un conjunto de términos con un patrón claro. Puede ser de naturaleza aritmética o geométrica. También hemos aprendido que una fórmula explícita se utiliza para encontrar el n º período de progresión aritmética o secuencia geométrica mediante el uso de las siguientes fórmulas:
La fórmula explícita aritmética es un sub n = un sub 1 + d ( n -1)
La fórmula explícita geométrica es un sub n = un sub 1 ( r ) ^ ( n -1)
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