Fórmulas de volumen para pirámides, prismas, conos y cilindros

Volúmenes de objetos tridimensionales

Suponga que se muda y empaca sus cosas en cajas. Conoces las dimensiones de las cajas, pero quieres saber cuánto de tus cosas puedes caber en cada caja. Ese espacio dentro de la caja se llama volumen de la caja. Veremos cómo encontrarlo para diferentes objetos usando fórmulas y relaciones.

Los objetos tridimensionales son objetos que tienen una longitud, un ancho y una altura. Vivimos en un mundo tridimensional, por lo que hay objetos tridimensionales a nuestro alrededor. Por ejemplo, los edificios en los que trabajamos y las casas en las que vivimos son objetos tridimensionales. Como dijimos, el volumen de un objeto tridimensional es la cantidad de espacio que hay dentro del objeto.

Veremos cuatro objetos tridimensionales específicos. Esos son pirámides, prismas, conos y cilindros. Veremos cómo encontrar el volumen de cada uno de estos usando una fórmula. En el proceso, veremos la relación entre los volúmenes de pirámides y prismas, junto con la relación entre los volúmenes de conos y cilindros.

Pirámides y prismas

Una pirámide es un objeto tridimensional con triángulos como caras y una base poligonal. Las caras son los lados y la base es la parte inferior. Un polígono es una forma bidimensional con lados rectos. Un ejemplo perfecto de pirámides del mundo real son las pirámides de Egipto.

Un prisma es un objeto tridimensional con dos bases poligonales que tienen la misma forma y tamaño, y caras que son rectángulos. Un ejemplo de prisma en el mundo real es una caja de cartón.

Cuando tenemos un prisma y una pirámide con bases y altura iguales, podemos encajar la pirámide dentro del prisma. De hecho, cuando este es el caso, la pirámide ocupa exactamente 1/3 del espacio en el prisma. Este hecho nos permite ver una relación entre el volumen de un prisma y el volumen de una pirámide cuando los dos tienen bases iguales y alturas iguales. Es decir, el volumen de una pirámide es 1/3 del volumen de un prisma con la misma altura y base.

Al encontrar el volumen de un prisma, queremos encontrar cuánto espacio hay en el interior del prisma. Para ello, podemos tomar el área de una de las bases y multiplicarla por la altura. Entonces:

• Volumen de un prisma = (área de la base) * altura

Ahora, consideremos el volumen de una pirámide. Como dijimos, una pirámide ocupa 1/3 del volumen de un prisma cuando sus bases y altura son iguales. Por lo tanto, el volumen de una pirámide es 1/3 multiplicado por el volumen de un prisma. Entonces:

• Volumen de una pirámide = 1/3 (área de la base) * altura

Suponga que tenemos un prisma con un área de base de 16 pulgadas cuadradas. La altura del prisma es de 8 pulgadas. Podemos usar nuestra fórmula para encontrar el volumen del prisma:

Ahora, considere una pirámide con una base cuadrada que tiene un área de 16 pulgadas cuadradas y una altura de 8 pulgadas. Podemos encontrar el volumen de la pirámide usando la fórmula, o simplemente podemos multiplicar el volumen del prisma por 1/3.

En ambos casos, encontramos que el volumen de la pirámide es 42,7 pulg 3 .

Conos y cilindros

Un cilindro es un objeto tridimensional que tiene dos bases circulares con la misma área y un lado curvo que conecta las dos bases. Buenos ejemplos de cilindros en el mundo real son los productos enlatados.

Un cono es un objeto tridimensional con una base circular y un lado curvo que se encuentra en un punto. Un buen ejemplo de cono es un cono de helado.

La relación entre un cilindro y un cono es similar a la relación entre una pirámide y un prisma. Si un cono y un cilindro tienen la misma altura y una base circular con la misma área, entonces podemos colocar el cono dentro del cilindro, y el cono ocupará 1/3 del espacio en el cilindro.

Para encontrar el volumen de un cilindro, multiplicamos el área de la base circular por la altura. Para encontrar el área de un círculo, usamos la fórmula:

• Área de un círculo = π r 2

Dado que las caras del cilindro son circulares:

• Volumen de un cilindro = (área de la base) * (altura)
• Volumen de un cilindro = π r 2 (altura)

Dado que un cono es 1/3 del volumen de un cilindro, la fórmula de volumen para un cono se obtiene multiplicando el volumen de un cilindro por 1/3. Entonces:

• Volumen de un cono = 1/3 (área de la base) * (altura)
• Volumen de un cono = 1/3 (π r 2 ) (altura)

Supongamos que tenemos un cilindro con una altura de 20 cm. El radio de las bases circulares es de 3 cm. Podemos encontrar el volumen del cilindro introduciendo estas medidas en nuestra fórmula:

Por tanto, el volumen del cilindro es de 565,5 cm 3 . Supongamos ahora que tenemos un cono de 20 cm de altura y una base circular de 3 cm de radio. Una vez más, podemos usar la fórmula, o simplemente podemos tomar 1/3 del volumen del cilindro. Si usamos la fórmula, tenemos:

En ambos casos, vemos que el volumen del cono es de 188,5 cm 3 .

Resumen de la lección

Aprendimos a encontrar el volumen de prismas, pirámides, cilindros y conos. La relación entre los volúmenes de las pirámides y los prismas es que cuando un prisma y una pirámide tienen la misma base y altura, el volumen de la pirámide es 1/3 del volumen del prisma.

De manera similar, cuando un cono y un cilindro tienen la misma altura y su base circular tiene la misma área, el volumen del cono es 1/3 del volumen del cilindro. Vemos que estas relaciones y fórmulas son extremadamente útiles cuando se trata de los volúmenes de estos objetos tridimensionales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador