Función de beneficio: ecuación y fórmula

Definición de una función

Antes de mostrar la ecuación de la función de beneficio , primero debemos asegurarnos de que entendemos qué es una función general. Quizás sea mejor pensar en una función como algún tipo de máquina en una fábrica. Ingresamos la materia prima (entrada) en la máquina, luego la máquina procesa el material y, finalmente, crea un producto (salida).

La entrada es el dominio de la función y la salida es el rango de la función. El dominio suele estar representado por la variable x y se denomina variable independiente . Cada valor utilizado para la variable independiente produce un valor de salida que es exclusivo de la variable independiente. En otras palabras, cada entrada tiene solo una salida. La salida, o rango, de una función a menudo se representa mediante la variable y .

Notación de funciones

Un ejemplo de una función podría ser y = 3 x + 7. Podemos reemplazar y con el símbolo f (x) – f (x) = 3 x + 7. El símbolo f (x) se puede leer como ‘f de x ‘o como’ el valor de f en x ‘. En este ejemplo, el nombre de la función es f . Si queremos evaluar esta función cuando x = 8, completaríamos el siguiente cálculo:

f (8) = 3 (8) + 7
f (8) = 24 + 7
f (8) = 31

Podemos usar otras letras para nombrar funciones y otras letras para representar la variable de entrada. Digamos que Tom creó una función que determina su salario para cada semana. Por lo tanto, llamó a esta función s . Su salario semanal se basa en la cantidad de horas que trabaja y gana $ 15.00 por hora. Por lo tanto, usó la letra h para su entrada o variable independiente. Su función es la siguiente:

s (h) = 15 h

Esta es una función muy simple, pero el punto principal aquí es que podemos usar variables alternativas que tengan sentido y sean relevantes para el propósito de una función.

Ecuación de la función de beneficio

Una función de ganancias es una función que se centra en aplicaciones comerciales. El propósito principal de una empresa es vender un producto o servicio para obtener ganancias, que son los ingresos que recibe una empresa por vender un producto o servicio menos el costo de crear un producto o servicio.

La ecuación de la función de ganancias se compone de dos funciones principales: la función de ingresos y la función de costos. Si x representa el número de unidades vendidas, nombraremos estas dos funciones de la siguiente manera: R (x) = la función de ingresos; C (x) = la función de costo. Por lo tanto, nuestra ecuación de la función de beneficio será la siguiente: P (x) = R (x) – C (x) .

Ejemplos

Muestremos un ejemplo sencillo. Un vendedor ambulante de la ciudad de Nueva York vende perros calientes a $ 3.00 cada uno. Por lo tanto, su función de ingresos es R (x) = 3 x . Su costo fijo para el mantenimiento de su puesto cada día es de $ 50.00 y su costo variable, o los materiales necesarios para hacer los hot dogs, es de $ 2.00 por hot dog vendido. Por lo tanto, su función de costo diario es C (x) = 50 + 2 x .

Primero nos gustaría saber cuántos hot dogs necesita vender el vendedor para cubrir los gastos. El punto de equilibrio es cuando los ingresos son iguales al costo o cuando la ganancia es cero. P (x) = R (x) – C (x) = 0. Si la ganancia es cero, entonces R (x) = C (x) . Usaremos esta ecuación para encontrar el punto de equilibrio – R (x) = C (x) . 3 x = 50 + 2 x . x = 50.

Por lo tanto, el vendedor de perritos calientes debe vender al menos 50 perritos calientes en un día determinado para cubrir los gastos. Esto también se refleja en el gráfico que se muestra en la Figura 1. Graficaremos las funciones de ingresos y costos en lugar de la función de ganancias porque esta estrategia explicará mejor la dinámica de la función de ganancias.

Figura 1

El vendedor tiene una ganancia positiva una vez que vende más de 50 perritos calientes en un día determinado y agrega $ 1.00 a esta ganancia con cada perrito caliente vendido más de 50. Nuestra ecuación de ganancias y el gráfico muestran que el potencial de ganancias del vendedor es infinito. Sin embargo, eso no es realista. Hay pocas horas en un día y pueden entrar en juego otros factores, como los descuentos en los precios cuando el tráfico de la calle es bajo o el deterioro de los materiales que no se utilizan. Las funciones de ingresos y costos rara vez son funciones lineales simples.

Ahora veamos un ejemplo más complejo.

Una pequeña empresa tiene las siguientes funciones semanales de costos e ingresos para un nuevo producto:

C (x) = 200 + 10x + 0.2x ^ 2
R (x) = 40x – 0.1x ^ 2

Figura 2

Estas funciones se reflejan en el gráfico que se muestra en la Figura 2. Puede notar que la pendiente de la función de costo aumenta a medida que aumentan las unidades vendidas. Esto podría deberse a algún factor como la necesidad de horas extra para fabricar el mayor número de unidades. También puede notar que la pendiente de la función de ingresos disminuye a medida que aumentan las unidades vendidas. Esto podría deberse a algún factor, como la concesión de descuentos en los precios por mayores volúmenes de ventas.

Encontremos la ganancia de la empresa cuando vende 75 unidades en una semana. P (x) = R (x) – C (x) . P (x) = 40 x – 0.1 x ^ 2 – (200 + 10 x + 0.2 x ^ 2). Podría ser más fácil evaluar las funciones de ingresos y costos por separado:

R (75) = 40 (75) – 0,1 (75) ^ 2 = 3000 – 562,5 = 2437,5
C (75) = 200 + 10 (75) + 0,2 (75) ^ 2 = 200 + 750 + 1125 = 2075
P ( 75) = 2437,5 – 2075 = 362,50

Con un volumen semanal de 75 unidades, la empresa obtiene una ganancia de 362,50 dólares. Al igual que en nuestro primer ejemplo, el gráfico de la Figura 2 muestra que el costo es mayor que los ingresos antes de que se vendan las unidades. En algún momento, los ingresos comienzan a superar el costo. Sin embargo, a un volumen mayor, el costo comienza a superar los ingresos nuevamente. Por lo tanto, existe un cierto volumen en el que la empresa maximizará sus ingresos. Para tener éxito, a la empresa le gustaría encontrar este volumen.

Ingresos marginales y costo marginal

Para ayudar a la empresa a encontrar el volumen al que maximizará sus ingresos, necesitaremos encontrar la función de ingreso marginal y la función de costo marginal. El ingreso marginal es la tasa de cambio en el ingreso a un cierto volumen y el costo marginal es la tasa de cambio en el costo a un cierto volumen. En otras palabras, necesitamos encontrar las derivadas (pendientes) de las funciones de ingresos y costos originales. Podemos hacer esto usando la regla de la potencia. Las funciones de ingreso marginal y costo marginal son las siguientes:

R ‘(x) = 40 – 0,2 x
C’ (x) = 10 + 0,4 x

Las primeras marcas denotan estas funciones especiales. Si no está familiarizado con la regla de la potencia y con la derivada de polinomios, puede aceptar las funciones como se muestra arriba. Sin embargo, el conocimiento de estos conceptos será útil a medida que avance en su aprendizaje de las matemáticas.

Queremos saber a qué volumen son iguales las funciones de ingreso marginal y costo marginal. Este volumen es el punto en el que la empresa maximizará sus beneficios. He aquí por qué: si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, entonces la empresa querrá aumentar las unidades vendidas porque su beneficio aumentará con cada unidad vendida. Si el ingreso marginal es menor que el costo marginal, entonces la empresa querrá disminuir las unidades vendidas porque están perdiendo dinero con cada unidad vendida.

Por lo tanto, la ganancia máxima de la empresa ocurrirá cuando su ganancia marginal (ingreso marginal menos costo marginal) sea cero, P ‘(x) = R’ (x) – C ‘(x) = 0. Haremos que el ingreso marginal y el marginal funciones de costo iguales entre sí y resuelva para x .

R ‘(x) = C’ (x)
40 – 0,2 x = 10 + 0,4 x
0,6 x = 30
x = 50

La empresa maximizará sus ganancias por este producto vendiendo 50 unidades. Esta solución concuerda con el gráfico de la Figura 2. Observará que la diferencia positiva entre el gráfico de la función de ingresos y el gráfico de la función de costo es mayor a 50 unidades.

Resumen de la lección

Revisemos.

La función de ganancias es similar a cualquier otra función en matemáticas en que cada entrada de un dominio designado da como resultado una salida única. Sin embargo, la función de ganancias también tiene características únicas. En primer lugar, la función de ganancias se representa a menudo, como en esta lección, como una composición de la función de ingresos y la función de costos. Todas las complejidades de estas subfunciones pueden incorporarse a sus expresiones matemáticas.

La característica principal de esta lección es la ecuación P (x) = R (x) – C (x) . Otras ecuaciones importantes para recordar son las siguientes:

• El punto de equilibrio es cuando los ingresos son iguales al costo o cuando la ganancia es cero.
  R (x) = C (x)
  P (x) = R (x) – C (x) = 0
• El beneficio máximo se producirá cuando el ingreso marginal sea igual al costo marginal o cuando el beneficio marginal sea cero.
  R ‘(x) = C’ (x)
  P ‘(x) = R’ (x) – C ‘(x) = 0

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado, debería poder:

• Identificar las partes de una función
• Escribe una ecuación en notación de función
• Indique la ecuación de la función de beneficio
• Calcule el beneficio máximo