Función en Matemáticas: Definición y ejemplos

¿Qué es una función?

En matemáticas, una función se define como una expresión que describe la relación entre una variable independiente (entrada) y una variable dependiente (salida) en la que solo existe una salida para cada entrada. Las funciones son aplicables en la vida cotidiana y en muchas profesiones. Por ejemplo, la distancia que camina una persona en una hora depende del número de pasos que da, suponiendo que la longitud de la zancada es constante. Esa misma persona puede aumentar su distancia recorrida simplemente ajustando el número de pasos que da. Del mismo modo, la cantidad de ganancias que obtiene una panadería puede depender de la cantidad de productos vendidos. Al vender más productos, la panadería aumentará sus ganancias. Ambos ejemplos se pueden escribir en forma de función. Las funciones se expresan matemáticamente en notación de funciones, como {eq}f(x) = x + 2 {/eq} o {eq}g(t) = t^2 – 2t + 5 {/eq}.

Variables de una función

Una variable es una letra que representa un valor desconocido. Una función consta de una variable independiente y una variable dependiente. La variable independiente es la entrada y la variable dependiente es la salida. En la función {eq}f(x) = x + 2 {/eq}, f es el nombre de la función de una sola letra y x es el valor de entrada (variable independiente). El lado izquierdo de la función, » f ( x )», representa el valor de y, o la variable dependiente (salida). El lado derecho indica lo que hace la función, «sumar 2 al valor de entrada» en este caso. El valor de y es la variable dependiente porque el valor de y depende del valor de x (variable independiente) que se ingresa en el lado derecho de la función.

Dominio y rango de una función

La entrada de una función también se conoce como dominio. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada posibles. La salida también se conoce como rango. El rango es el conjunto de todos los valores de salida posibles. Por ejemplo, en la función {eq}f(x) = x + 2 {/eq}, el dominio es {eq}(-\infty, \infty) {/eq} porque cualquier valor de x tendrá una solución. Asimismo, el rango en la misma función también será {eq}(-\infty, \infty) {/eq} porque cualquier valor del dominio producirá una solución de cualquier número entre infinito negativo e infinito. Hay algunas reglas que se aplican al determinar el dominio de una función:

• Cualquier valor de la variable independiente no puede conducir a un cero en un denominador. Por ejemplo, la función {eq}f(x) = (x-2)/x {/eq} tiene un dominio de todos los números reales excepto 0. Asimismo, la función {eq}g(x) = x/(x-3)(x+1) {/eq} tiene un dominio de todos los números reales excepto 3 y -1.
• Cualquier valor de la variable independiente no puede conducir a un número negativo bajo un radical par (es decir, raíz cuadrada o raíz cuádruple). Por ejemplo, el dominio de la función {eq}h(t) = \sqrt (x+5) {/eq} son todos los números reales mayores o iguales a -5.

Gráficos de funciones

Las funciones se pueden representar gráficamente en un plano coordenado. Para graficar una función, primero elija varios valores de entrada y calcule las salidas. La entrada, o variable independiente, es el valor de x, y la salida, o variable dependiente, es el valor de y. Traza los puntos y conéctalos con una línea o una curva, dependiendo de si la función es lineal o curvilínea. Las funciones lineales se pueden escribir en el formato y = mx + b, donde m es la pendiente de la línea y b es la intersección con el eje y. La gráfica de una función lineal es una línea recta y representa una tasa de cambio constante entre las dos variables. Todas las demás funciones son curvilíneas o no lineales. La mayoría de las gráficas de funciones no lineales siguen ciertos patrones. Por ejemplo, la gráfica de una función con una variable independiente cuyo exponente es par tiene forma de parábola; mientras que la mayoría de los gráficos cúbicos (y otros exponentes impares) siguen un patrón de arriba-abajo-arriba o de abajo-arriba-abajo. La gráfica de una función también puede revelar más claramente el dominio y rango de esa función. A continuación se muestran algunas gráficas de funciones:

Ejemplo 1: {eq}f(x) = 2x + 3 {/eq}

Debido a que la función está en forma lineal y = mx + b, la gráfica es una línea recta. Además, no hay restricciones para el dominio ya que la variable independiente no está en el denominador ni debajo de un radical. Comience eligiendo algunos valores de entrada positivos y negativos y calculando las salidas.

Traza los puntos y conecta los puntos con una línea recta.

Debido a que la línea continúa eternamente en ambas direcciones, el dominio y el rango son ambos el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 2: {eq}g(x) = 1/(x-3) {/eq}

Esta función es no lineal porque no tiene la forma y = mx + b. Entonces, la gráfica será una curva. Además, dado que la variable independiente está en el denominador, el dominio son todos los números reales excepto 3. Para graficar la función, elija varios valores de x, tanto positivos como negativos, y calcule los valores de y.

Luego, traza los puntos en la gráfica. Se puede dibujar una línea discontinua en la línea x = 3 como recordatorio de que el gráfico no puede tocar este valor. Esta línea discontinua también te servirá como guía a la hora de determinar la forma de las curvas.

Observe que los puntos se curvan en direcciones opuestas. Además, debido a que la función es una fracción con un 1 en el numerador, los valores de y se acercarán a 0, pero nunca llegarán. Conecte los puntos trazados de manera que cada curva se acerque a las líneas x = 3 e y = 0, pero nunca toque a ellos.

La gráfica de la función muestra que el dominio son todos los números excepto 3 porque cada valor de x desde infinito negativo hasta infinito positivo tiene una solución, excepto x = 3. El rango es el conjunto de todas las salidas, o valores de y. La gráfica indica que el rango de esta función son todos los números reales excepto 0 porque las curvas nunca tocan la línea y = 0.

Ejemplos de funciones

Revise los siguientes ejemplos de funciones para ver cómo derivar notación de funciones y gráficas a partir de problemas planteados:

Ejemplo 1: Un estudiante gana $12 por hora trabajando en un trabajo de verano, sin opción a horas extras. Además, los padres del estudiante le dan un subsidio semanal de $25. Escribe y grafica la función de la cantidad que el estudiante puede ganar por semana con un máximo de 40 horas de trabajo.

Solución: La cantidad de dinero que el estudiante puede ganar depende del número de horas trabajadas, por lo que las horas trabajadas son la variable independiente h. El subsidio que gana el estudiante no depende de las horas trabajadas, por lo que está fuera de la variable independiente. La función se puede escribir como f ( h ) = 12 h + 25. Aunque matemáticamente la función no tiene restricciones en el dominio o rango, sí tiene restricciones en el dominio en el contexto de este problema en particular porque el estudiante no puede trabajar menos de cero horas o más de 40 en una semana determinada. Así, el dominio son todos los números reales mayores o iguales a cero y menores o iguales a 40. Al trazar puntos para la gráfica, elija valores para h que se encuentren dentro del dominio.

Observe, entonces, que el rango con el dominio dado es {eq}25 <= y <= 505 {/eq}, lo que significa que el estudiante ganará entre $25 y $505 por semana, dependiendo de la cantidad de horas trabajadas.

Ejemplo 2: La altura (en pies) a la que fluye el agua de un aspersor se puede definir mediante la función {eq}g(t) = -t^2/2 + 3t {/eq}. ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el agua (es decir, la altura máxima del rango)? ¿Cuánto tiempo (en segundos) permanece el agua en el aire (es decir, dominio)? Grafique el recorrido del agua.

Solución: La altura del agua depende del tiempo desde que salió del aspersor. Entonces, la altura es la variable dependiente, o valor de y, y el tiempo es la variable independiente, o valor de x. Como la función es una función al cuadrado, tiene la forma de una parábola. Esta parábola invertida comienza en el suelo y sube antes de volver a bajar, lo que también se indica con el signo negativo adjunto a la variable al cuadrado. Para trazar esta gráfica, primero encuentre las raíces de la parábola, o las intersecciones con el eje x, igualando la función a cero y resolviendo para t.

{eq}0 = -t^2/2 + 3t\\0 = -t(t/2 – 3)\\0 = -t \ y \ 0 = t/2 – 3\\t = 0 \ y \ 6 {/eq}

Luego, encuentra el vértice, o máximo en este caso, de la parábola. Debido a que la función está en forma estándar {eq}f(x) = ax^2 + bx + c {/eq}, el valor x del vértice se puede encontrar calculando – b /2 a y el valor y del vértice se puede calcular encontrando f (- b /2 a ). Entonces, el vértice está en el punto (3, 4.5). Ahora traza las raíces y el vértice y conecta los puntos con una curva, teniendo en cuenta que el flujo de agua comienza y termina en la superficie del suelo.

La altura máxima del agua es de 4,5 pies del suelo y el agua está en el aire durante 6 segundos.

Resumen de la lección

Una función es una expresión que define la relación entre una entrada y una salida. Una función se escribe en términos de variables, que son valores desconocidos representados por una letra. Cada valor posible de la variable independiente, o entrada, produce solo un valor de la variable dependiente, o salida. La variable dependiente cambia según cómo cambia la variable independiente. En una gráfica de una función, la variable independiente también se conoce como valor de x y la variable dependiente también se conoce como valor de y. El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles. El dominio no puede ser igual a un valor que lleve a un cero en el denominador ni puede ser un valor que lleve a un número negativo bajo un radical. Algunos problemas planteados también imponen restricciones adicionales al dominio para la situación dada. El rango de una función es el conjunto de todas las salidas posibles para el dominio.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador