Funciones gráficas mediante el trazado de puntos

Funciones

Imagina que es una noche oscura y tormentosa. Estás perdido en el bosque. Sientes que algo te persigue. Empiezas a correr, pero te tropiezas con una rama caída. Te das la vuelta y miras hacia atrás. Y ahí, en un relámpago, está esto: f ( x ).

Espera. No tienes que tener miedo a las funciones. Lo sé, dan miedo. ¿De dónde viene esa f y qué significa? Y, ¿por qué tiene prisionera a esa x ? Las funciones han intimidado a los estudiantes de matemáticas desde que ha habido malas historias que empiezan siendo una noche oscura y tormentosa.

Pero, en esta lección, veremos que las funciones son como cualquier otra ecuación. Y, de hecho, es muy sencillo hacer una gráfica de una función.

Primero, aclaremos algunas cosas. Una función es una regla que usa una entrada para producir una salida. Digamos que ve f ( x ) = 2 x . Eso solo significa que para cada valor de nuestra entrada, x , nuestra función, f , produce una salida de 2 x . Entonces, si ingresamos 5, nuestra salida es 5 * 2 o 10. Si ingresamos 7, nuestra salida es 7 * 2 o 14.

Entonces, f ( x ) = 2 x es en realidad similar ay = 2 x . Nuevamente, si x = 5, y = 10. En esta ecuación, y es una función de x . El valor de x determina el valor de y .

Ahora podemos entrar en gráficos. La gráfica de una función es una representación visual de todos los puntos en el plano de ( x , f ( x )). Tenga en cuenta que f ( x ) ocupa el lugar de y en ese par ordenado. Este gráfico que estamos haciendo es solo una colección de puntos.

¿Conoces ese famoso cuadro de Seurat? ¿La que parece una imagen normal, pero cuando miras más de cerca, ves que en realidad es una colección de innumerables puntos diminutos? Una línea en el gráfico es lo mismo. Es solo un número infinito de puntos.

Encuentra pares ordenados

Para graficar una función, tomamos esa idea y seguimos un plan simple de tres pasos. Probemos esto con esta función: f ( x ) = 3 x – 4.

Bien, comencemos. Paso uno: Encuentra pares ordenados . Tus pares ordenados son tus puntos. Si pudieras encontrar un número infinito de ellos, tendrías tu gráfica. Pero aquí no tenemos tiempo para eso, aunque podría ser un proyecto divertido.

Solo vamos a completar el cuadro a continuación.

Un cuadro es útil para encontrar pares ordenados.

En la columna x , escojamos algunos números. No importa demasiado lo que elijamos, pero queremos asegurarnos de que si esta línea se curva, verificamos suficientes números para notarlo. Usemos -1, 0, 1, 2.

Para encontrar los pares ordenados, conectamos nuestros valores de x en la función. Empiece con -1. Simplemente conecte eso en nuestra función: f (-1) = 3 (-1) – 4. Entonces, nuestro valor f ( x ) aquí es -7. Agreguemos eso a nuestra tabla. Eso significa que nuestro primer par ordenado es (-1, -7).

0 es el siguiente. f (0) = 3 (0) – 4. Eso es solo -4.

El siguiente es 1. f (1) = 3 (1) – 4. Eso es -1.

Finalmente, hay 2. f (2) = 3 (2) – 4. Eso será 2.

Trazar los puntos

Bien, tenemos nuestros puntos. Ahora viene el paso dos: grafica los puntos . Pasemos al plano de coordenadas y tracemos estos pares ordenados.

Primero es (-1, -7), y luego está (0, -4). Si sabe que tiene una línea recta, realmente solo necesita dos puntos. Pero, estamos siendo cautelosos y trazamos cuatro puntos.

Entonces, hay (1, -1) y hay (2, 2).

El segundo paso es trazar los pares ordenados.

Conecta los puntos

Eso deja nuestro paso final: Paso tres: Conecta los puntos .

Probablemente practicó esto en preescolar. ¿Sabías entonces que conectar los puntos sería una habilidad práctica en matemáticas avanzadas?

De todos modos, antes de conectar los puntos, asegurémonos de saber qué están haciendo.

Algunas funciones tienen curvas. Podrías saberlo porque una línea recta no atravesaría todos nuestros puntos. Pero, si trazamos una línea a través de nuestros puntos a continuación, lo hace. Entonces, tenemos nuestra línea. Y esa es la gráfica de f ( x ) = 3 x – 4.

El tercer paso es trazar tu línea.

Problemas de práctica

Ahora que conocemos los tres pasos, practiquemos un poco.

Primero, intentemos f ( x ) = -3 x + 6. ¿Recuerdas el paso uno? Encuentra pares ordenados.

Hagamos un gráfico. Bien, ahora elija algunos valores para x . ¿Qué tal si probamos números pares? -2, 0, 2 y 4.

Cuadro para el problema de práctica 1

A continuación, conéctelos a nuestra función. f ‘(-2) = -3 (-2) + 6. Eso será 12.

f (0) = -3 (0) + 6. Eso es solo 6.

f (2) = -3 (2) + 6. Eso va a ser 0.

Finalmente, f (4) = -3 (4) + 6. Eso es -6.

Estoy notando un patrón aquí.

De acuerdo, paso dos: grafica los puntos. Hay (-2, 12) a continuación. Hay (0, 6). Hay (2, 0). Y hay (4, -6).

Puntos para el problema de práctica 1

Finalmente, paso tres: conecta los puntos. Esta es definitivamente una línea recta. ¡Y aquí está abajo!

Línea para el problema de práctica 1

Esta es la gráfica de f ( x ) = -3 x + 6.

Hagamos uno más complicado: f ( x ) = x ^ 2 + 2.

Bien, paso uno: encuentra pares ordenados. Como x es al cuadrado, asegurémonos de usar números positivos y negativos. Usemos -4, -2, 2 y 4.

Entonces, ¿qué es f (-4)? f (-4) = (-4) ^ 2 + 2. Eso es 18.

El siguiente es -2. f (-2) = (-2) ^ 2 + 2. Eso es 6.

Entonces, 2. f (2) = 2 ^ 2 + 2. Eso también es 6.

Y, como estamos elevando x al cuadrado , sabemos que 4 será lo mismo que -4: 18.

Ahora paso dos: grafica los puntos. De acuerdo, hay (-4, 18) a continuación. Hay (-2, 6). Hay (2, 6) y hay (4, 18).

Puntos para el problema de práctica 2

Finalmente, conectamos los puntos. Ahora, probablemente pueda decir que esto no va a ser una línea recta. Esta línea se curva.

Podemos ver que se curva hacia arriba a la izquierda abajo y también arriba a la derecha abajo, pero ¿cómo sabemos dónde comienza? Ese será el valor más pequeño posible de y .

Las líneas para el problema de práctica dos serán curvas.

Como estamos elevando x al cuadrado , el valor de y más pequeño será cuando x sea ​​0. ¿Por qué? Como vimos, cuando elevamos al cuadrado un número negativo, obtenemos un número positivo. Por lo tanto, cada valor negativo de x nos dará un valor de y mayor que 0. Por lo tanto, verifiquemos qué es y cuando x = 0. f (0) = 0 ^ 2 + 2. ¡Es 2! Entonces, esa es la parte inferior de nuestro gráfico, (0, 2).

Si conectamos los puntos, obtenemos una parábola, ¡se ve a continuación!

Para terminar de graficar esta función, necesitamos encontrar el valor más pequeño posible de y.

Este ejemplo es un buen recordatorio de que siempre puede probar más puntos si no está seguro de cuál será el gráfico. Al igual que en el cuadro, a veces se necesitan muchos puntos para estar seguro. Sin embargo, con suerte, no necesitará tantos como Seurat.

Resumen de la lección

En resumen, cuando queremos graficar una función, queremos hacer una representación visual de todos los puntos en el plano de ( x , f ( x )). Seguimos tres sencillos pasos. Paso uno: encuentra pares ordenados. Encuentra tantos como quieras, aunque te recomiendo al menos cuatro o cinco. Paso dos: grafica los puntos. Vea cómo se ven en el gráfico. Luego, paso tres: conecta los puntos. ¡Canalice a su niño en edad preescolar interior y grafique su función!

Resultado de aprendizaje

Podrá enumerar los pasos para graficar funciones y seguir esos pasos después de ver esta lección en video.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador