Funciones uno a uno: definiciones y ejemplos

Una función

Una buena forma de describir una función es decir que le da una salida para una entrada determinada. Para empezar, le das a las funciones un cierto valor y hacen lo suyo con el valor, y luego te dan la respuesta. Por ejemplo, la función f (x) = x + 1 suma 1 a cualquier valor que le dé. Le da un 5, esta función le dará un 6: f (5) = 5 + 1 = 6.

Sin embargo, las funciones tienen un criterio que deben cumplir. Y ese es el valor x , o la entrada, no se puede vincular a más de una salida o respuesta. En otras palabras, no puede alimentar la función con un valor y terminar con dos respuestas diferentes. Por ejemplo, si le da a una supuesta función un 1 y le da un 4 y un 10, entonces sabe que esta supuesta función no es una función real. Una función real le daría una sola respuesta sólida.

Una función uno a uno

Ahora, hablemos de las funciones uno a uno. Una función uno a uno es una función en la que las respuestas nunca se repiten. Una función normal puede tener dos valores de entrada diferentes que producen la misma respuesta, pero una función uno a uno no. Por ejemplo, la función f (x) = x ^ 2 no es una función uno a uno porque produce 4 como respuesta cuando ingresa tanto un 2 como un -2, pero la función f (x) = x – 3 es una función uno a uno porque produce una respuesta diferente para cada entrada.

Gráficos

Podemos aprender mucho comparando gráficas de funciones que son y no funciones uno a uno. Veamos una que es y otra que no es una función uno a uno.

La función que se muestra aquí es f (x) = x + 2, y es una función uno a uno.

Esta es una función de uno a uno.

Puede ver que cada entrada, x , produce una respuesta diferente, y .

Ahora, veamos la gráfica de f (x) = x ^ 2, que no es una función uno a uno.

Esta no es una función de uno a uno.

Esta función no es una función uno a uno porque tenemos dos valores de entrada diferentes, x , que producen la misma respuesta, y . Mire la gráfica cuando la entrada sea tanto 3 como -3. Puede ver que ambos producen 9 como respuesta.

La prueba de la línea horizontal

Al comparar estos dos gráficos, podemos ver que la prueba de la línea horizontal funciona muy bien como una prueba fácil para ver si una función es uno a uno o no. La prueba de la línea horizontal nos dice que si dibuja una línea y la gráfica cruza la horizontal más de una vez, entonces la función no es una función uno a uno.

Mirando nuestra segunda gráfica de f (x) = x ^ 2, vemos que si trazamos una línea horizontal, nuestra gráfica cruza esa línea dos veces, que es más de una. Debido a que nuestra gráfica cruza la línea horizontal más de una vez, vemos que esta función no es una función uno a uno.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una función le da una salida para una entrada determinada. Una función uno a uno es una función cuyas respuestas nunca se repiten. Por ejemplo, la función f (x) = x + 1 es una función uno a uno porque produce una respuesta diferente para cada entrada. La función f (x) = x ^ 2, por otro lado, no es una función uno a uno porque le da la misma respuesta para más de una entrada. Esta función en particular le da 9 cuando le da un 3 o un -3. Una función uno a uno no le daría la misma respuesta para ambas entradas.

Una forma fácil de probar si una función es uno a uno o no es aplicar la prueba de la línea horizontal a su gráfico. Si la gráfica cruza la línea horizontal más de una vez, entonces la función no es una función uno a uno.

Los resultados del aprendizaje

A medida que avanza en esta lección, puede prepararse para:

• Entender qué constituye una función
• Comparar gráficos
• Funciones de contraste y funciones uno a uno
• Utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si una función es una función uno a uno