Una forma diferente de medir la distancia
¿A qué distancia está el Empire State Building de la sede de las Naciones Unidas en Nueva York, NY? Bueno eso depende. Tienes alas? De lo contrario, tendrá que subirse a un taxi y seguir el patrón de cuadrícula de las calles. Irás aproximadamente 8 cuadras al este y 9 cuadras al norte, para una distancia total de 17 cuadras (me doy cuenta de que no todas las cuadras tienen la misma longitud en Manhattan, pero no nos preocupemos por esos detalles aquí, como dicen en el idioma local , ‘fuggedaboutit’!).
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Esta idea de contar la distancia solo en las direcciones norte-sur (o vertical) y este-oeste (u horizontal) subyace a lo que llamamos geometría de taxi . No es que las líneas diagonales no estén permitidas, pero en la geometría de los taxis, tenemos que medir la distancia de cada línea como si estuviera formada solo por segmentos verticales y horizontales.
Pero antes de adentrarnos en las matemáticas, exploremos la historia de este tema.
Historia de la geometría del taxi
Hace mucho tiempo, la mayoría de la gente pensaba que la única forma sensata de hacer geometría era hacerlo como lo hizo Euclides en el año 300 a. C. Pero a partir del siglo XIX, los matemáticos comenzaron a explorar versiones de geometría que parecían muy diferentes. ¡No me malinterpretes, la geometría euclidiana (la geometría de Euclides) sigue siendo muy importante! En la mayoría de las aplicaciones cotidianas, como diseñar y construir rascacielos, la geometría euclidiana es el camino a seguir.
Sin embargo, en el siglo XIX, los matemáticos y físicos comenzaron a explorar formas de crear geometrías no euclidianas . A Hermann Minkowski generalmente se le atribuye la introducción de la geometría de taxis, junto con toda una familia de geometrías diferentes, basadas en diferentes formas de medir la distancia entre puntos.
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Ahora bien, puede preguntar: «¿Por qué crear nuevas geometrías?» Quiero decir, una geometría parece suficientemente buena, ¿verdad? ¿Por qué complicar aún más las cosas? Bueno, parece que nuestro universo lo ve de manera diferente. Toda la estructura del espacio-tiempo aparentemente obedece a las reglas de una geometría no euclidiana (pero algo mucho más complicado que la geometría del taxi). Las ideas de Minkowski y otros llevaron a Albert Einstein hacia su famosa Teoría de la Relatividad.
Fórmulas de distancia
La geometría euclidiana se basa en la métrica euclidiana , que es una forma elegante de hablar sobre la medición de distancias. La métrica euclidiana es una función que toma dos puntos cualesquiera como entrada y le indica la distancia (euclidiana) entre ellos. En dos dimensiones, esta es solo la fórmula familiar de distancia entre puntos en el plano.
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La métrica del taxi es realmente una suma de la distancia vertical y horizontal. Tenga en cuenta los valores absolutos en la fórmula; ¡son muy importantes!
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A menos que los dos puntos sean directamente horizontales o verticales entre sí, la distancia euclidiana será menor que la distancia en taxi entre ellos. ¿Puedes ver por qué? Considere el diagrama siguiente.
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Círculos
Sabes lo que es un círculo, ¿verdad? Yo sé que tú. Pero técnicamente, la forma de un círculo depende de la forma en que midas las distancias. En otras palabras, puede haber una gran diferencia entre un círculo euclidiano y un círculo no euclidiano.
Vayamos a lo básico. Un círculo se define como el conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo llamado centro . En la geometría euclidiana, donde la distancia es solo una distancia en línea recta, los círculos salen agradables y redondos.
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Sin embargo, un círculo de taxi tiene cuatro esquinas y bordes rectos. Piense en todos los puntos a los que podría llegar en Manhattan recorriendo un total de 3 cuadras. Eso podría ser 3 al este, o 2 al este + 1 al norte, o 1 al este + 2 al norte, o 3 al norte, etc. (… y no olvides que también puedes viajar al oeste o al sur). ¡El conjunto de puntos en su círculo de taxi se vería como un diamante!
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Ejemplos
Hagamos algunos ejemplos juntos.
1. Sea P = (3, 7) y Q = (-1, 4). Encontrar la distancia euclídea y la distancia entre Taxi P y Q .
Distancia euclidiana:
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Distancia del taxi:
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2. Dibuje un círculo de taxi de radio 2, centrado en (1,3).
Primero, trace el punto central (1,3). Luego, las cuatro esquinas se encuentran sumando y restando el radio 2 de cada coordenada. Esquina oeste: (1-2, 3) = (-1, 3). Esquina norte: (1, 3 + 2) = (1,5). Esquina este: (1 + 2, 3) = (3, 3). Esquina sur: (1, 3-2) = (1, 1).
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Resumen de la lección
La denominada geometría del taxi es una geometría no euclidiana desarrollada en el siglo XIX por Hermann Minkowski. Se basa en una métrica diferente o en una forma de medir distancias. En Geometría de taxi, la distancia entre dos puntos se calcula sumando la distancia vertical y la horizontal.
La distancia del taxi viene dada por esta fórmula:
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Además, los círculos de taxis no serán agradables y redondos. Debido a su geometría no euclidiana, tendrán cuatro esquinas y bordes rectos en su lugar.
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