Geometría elíptica: definición y postulados

Geometría elíptica

Saque un trozo de papel y mírelo. Es plano, ¿verdad? Ahora dibuje una línea recta a través del papel y coloque otro punto encima, así:

¿Cuántas líneas podrías dibujar a través de este punto que sean paralelas a la línea original? Estoy seguro de que puede ver que la respuesta es una. Solo hay una línea que pasa por el punto que dibujó y es paralela a la línea. A esto se le llama el postulado paralelo , y el matemático griego Euclides fue el primero en explicarnos esto en el siglo III a. C.

Si bien sabemos que el postulado es cierto en una hoja de papel plana, ¿qué pasaría si intentaras repetir este experimento en la superficie de una esfera? Primero, probablemente notarás que es imposible trazar una línea recta en una superficie esférica. Tan pronto como empiece a dibujar la línea, se curva porque la superficie en la que la está dibujando es curva. Esto significa que ninguna línea puede ser verdaderamente paralela, por lo que esto viola el postulado paralelo de Euclides.

La geometría euclidiana es la geometría de superficies planas. Cualquier geometría que viole el principio paralelo se conoce como geometría no euclidiana . Hay algunos tipos diferentes de geometría no euclidiana. Uno de ellos, la geometría elíptica , estudia la geometría de superficies esféricas.

Postulados

Probablemente el más obvio de los postulados de la geometría elíptica es la afirmación de que no hay líneas rectas. Las líneas dibujadas en cualquier superficie curva, incluida la superficie de una esfera, siempre serán curvas porque la propia superficie es curva.

Además, no hay líneas paralelas en la geometría elíptica porque dos líneas cualesquiera siempre se cruzarán en algún punto. Como ejemplo de esto, piense en las líneas de longitud en la superficie de la tierra. Si bien pueden parecer paralelos en el ecuador, todos se encuentran en los polos norte y sur, por lo que no son realmente paralelos, ¡y tampoco son rectos!

Otro postulado de la geometría elíptica establece que la suma de los ángulos interiores de un triángulo dibujado en la superficie de una esfera será de más de 180 grados. En una superficie plana, la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es exactamente igual a 180 grados, pero en realidad es posible tener dos ángulos rectos en un triángulo dibujados en la superficie de una esfera.

Aplicaciones

Una forma en que se usa la geometría elíptica es determinar distancias entre lugares en la superficie de la tierra. La tierra es aproximadamente esférica, por lo que las líneas que conectan los puntos en la superficie de la tierra también son curvas naturalmente. En un mapa plano, la distancia más corta entre dos ciudades puede parecer una línea recta, pero en la superficie curva de la tierra, la distancia más corta real puede ser bastante diferente de lo que parece ser en un mapa plano. Por ejemplo, cuando los aviones vuelan a través del océano Atlántico desde Nueva York a Londres, normalmente vuelan lejos hacia el norte y pasan sobre Groenlandia antes de girar hacia el sur nuevamente hacia Londres. Hacen esto porque este camino curvo es en realidad la distancia más corta entre estas dos ciudades.

Resumen de la lección

La geometría euclidiana es la geometría de superficies planas. El postulado paralelo de la geometría euclidiana dice que si tienes una línea y un punto, solo hay una línea que puedes dibujar a través del punto que también es paralelo a la línea original. La geometría no euclidiana estudia las superficies curvas y, en estas superficies, se viola el postulado paralelo. La geometría elíptica , un tipo de geometría no euclidiana, estudia la geometría de superficies esféricas, como la tierra.

La geometría elíptica se diferencia de la geometría euclidiana en varios aspectos. Primero, en una superficie esférica no hay líneas rectas ni paralelas. Además, la suma de los ángulos interiores de un triángulo dibujado sobre una superficie esférica será superior a 180 grados.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador