Graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica

Funciones básicas de raíz cuadrada y raíz cúbica

¿Alguna vez has notado que graficar funciones básicas dentro de una familia es bastante simple? Trazamos algunos puntos y conectamos los puntos en consecuencia. Por ejemplo, considere las familias de funciones de raíz cuadrada y funciones de raíz cúbica.

Una función de raíz cuadrada es una función con la variable debajo de la raíz cuadrada. De manera similar, una función de raíz cúbica es una función con la variable debajo de la raíz cúbica. Las más básicas de estas funciones son √ ( x ) y 3 √ ( x ), respectivamente. Podemos graficar estas funciones básicas al encontrar algunos puntos que satisfagan cada función, graficarlos y luego conectar los puntos.

Como esperábamos, eso no es tan difícil, pero ¿qué pasa si queremos graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica que son más complicadas que las básicas? Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos graficar y = 2√ ( x + 3) o y = – 3 √ ( x ) – 4? ¡Todavía podemos hacer esto! La respuesta está en las transformaciones de funciones. ¡Vamos a explorar!

Transformaciones de funciones

Observe que las dos funciones no básicas que mencionamos son variaciones algebraicas de las funciones básicas. Estas variaciones algebraicas corresponden a mover la gráfica de la función de diferentes maneras, y se llaman transformaciones.

Hay cuatro tipos de transformaciones:

• Horizontal : desplaza el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha. Corresponde a sumar o restar un número, c , de x en la función. Si sumamos c , desplazamos la gráfica c unidades a la izquierda, y si restamos c , entonces desplazamos la gráfica c unidades a la derecha. Ejemplo: El 3 sumado ax en y = 2√ ( x + 3) corresponde a desplazar la gráfica de y = √ ( x ) 3 unidades a la izquierda.
• Estirar / encoger : esto estira o comprime el gráfico vertical u horizontalmente. Corresponde a multiplicar toda la función por un número c o simplemente la variable x por el número c . Si multiplicamos toda la función por c , entonces estiramos la gráfica verticalmente por un factor de c si c > 1, y comprimimos la gráfica verticalmente por un factor de c si 0 < c <1. Si multiplicamos solo la variable x por c , entonces estiramos la gráfica horizontalmente por un factor de c si 0 < c<1, y comprimimos la gráfica horizontalmente por un factor de c si c > 1. Ejemplo: El 2 multiplicado por √ ( x ) en y = 2√ ( x + 3) corresponde con estirar la gráfica de y = √ ( x ) verticalmente por un factor de 2.
• Reflexión – Esto refleja el gráfico sobre el x – o Y -axes. Corresponde a multiplicar por un negativo. Si multiplicamos toda la función por un negativo, entonces reflejamos la gráfica sobre el eje x , y si multiplicamos solo la variable x por una negativa, entonces reflejamos la gráfica sobre el eje y . Ejemplo: Lo negativo en y = – 3 √ ( x ) – 4 corresponde a reflejar la gráfica de y = 3 √ ( x ) sobre el eje x .
• Vertical : desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. Corresponde a sumar o restar un número, c , de la función. Si sumamos c a la función, entonces desplazamos la gráfica hacia arriba c unidades. Si restamos c de la función, entonces desplazamos la gráfica hacia abajo c unidades. Ejemplo: Restar 4 en y = – 3 √ ( x ) – 4 corresponde con desplazar la gráfica de y = 3 √ ( x ) hacia abajo 4 unidades.

Graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica con transformaciones

Para graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica no básicas, podemos usar los siguientes pasos:

1. Identificar las operaciones algebraicas con su correspondiente transformación.
2. Tome la gráfica de la función básica a través de estas transformaciones en el orden horizontal, reflejos, estiramiento / contracción, vertical.

Usemos estos pasos y transformaciones para graficar las funciones no básicas que mencionamos anteriormente. Primero, considere y = 2√ ( x + 3). El primer paso es identificar las operaciones algebraicas con sus correspondientes transformaciones. Hicimos esto en los ejemplos de transformaciones horizontales y transformaciones de estiramiento / contracción.

Ahora, simplemente tomamos la gráfica básica de y = √ ( x ) a través de estas transformaciones.

No es tan difícil, ¿verdad? Veamos el ejemplo de la raíz cúbica; y = – 3 √ ( x ) – 4. Primero, identificamos nuestras transformaciones, lo que hicimos en el ejemplo de reflexión y el ejemplo vertical.

Ahora, simplemente tomamos la gráfica básica y = 3 √ ( x ) a través de estas transformaciones.

¡Ta-da! ¡Tenemos nuestro gráfico!

Resumen de la lección

Una función de raíz cuadrada es una función con la variable debajo de la raíz cuadrada. De manera similar, una función de raíz cúbica es una función con la variable debajo de la raíz cúbica. Las más básicas de estas funciones son √ ( x ) y 3 √ ( x ), respectivamente, y podemos graficar fácilmente estas funciones básicas trazando algunos puntos y conectando los puntos.

Las funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica no básicas son manipulaciones algebraicas de las funciones básicas. Estas operaciones algebraicas corresponden a transformaciones gráficas, y podemos usar estas transformaciones para graficar estas funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica no básicas. Las transformaciones incluyen cambios horizontales , de estiramiento / contracción , reflejos y verticales de la función básica del gráfico.

Al estar familiarizado con estas transformaciones, podemos graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica no básicas usando los siguientes dos pasos:

1. Identificar las operaciones algebraicas con sus correspondientes transformaciones.
2. Tome la gráfica de la función básica a través de estas transformaciones en el orden horizontal, reflejos, estiramiento / contracción, vertical.

Esto hace que graficar funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica no básicas sea casi tan fácil como graficar las funciones básicas, lo cual es genial ya que estas funciones no básicas aparecen mucho en diversas áreas de las matemáticas, así como en aplicaciones de la vida real.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador