Graficar las funciones cosecante, secante y cotangente

Gráfico cosecante

En esta videolección, hablamos sobre las gráficas de las otras tres funciones trigonométricas de cosecante, secante y cotangente.

Recuerde que nuestras tres funciones trigonométricas básicas son seno, coseno y tangente. Las tres funciones de las que estamos hablando hoy se definen como los recíprocos de nuestras tres funciones básicas. Entonces, tenemos cosecante (csc) es el recíproco de seno o 1 / seno, secante (sec) es el recíproco de coseno o 1 / coseno, y cotangente (cot) es el recíproco de la función tangente o 1 / tangente.

¿Cómo puedes recordar estos? Alguien me habló una vez de la frase «Co-Co No Go». ¡Esto me ayudó mucho! Esto me ayuda a recordar que la cosecante va con el seno y no con el coseno. La tangente y la cotangente son fáciles de recordar ya que comparten la misma palabra ‘tangente’.

Entonces, sigamos adelante y comencemos con la gráfica de la función cosecante.

Función cosecante

Vaya, esto es interesante. Obtenemos montículos en la parte inferior y caídas en la parte superior. Bueno, esto es de esperar. Dado que este es el recíproco de la función seno y nuestro denominador ahora es la función seno, sabemos que tendremos una asíntota siempre que el denominador, la función seno, sea igual a 0. Entonces, tenemos asíntotas en pi * n = 0, pi , 2pi, …. También como se esperaba, al igual que la función seno, tenemos el mismo período estándar, o duración de un ciclo, de 2pi.

Gráfico secante

Pasando al gráfico de la secante.

Función secante

¡Oye, esto se parece mucho a nuestro gráfico cosecante! Y si no tuviéramos cuidado, podríamos confundirlo con eso. Tenemos los mismos montículos y saltos. La única diferencia es que estos montículos y caídas ocurren ahora en diferentes lugares. Al igual que nuestra gráfica cosecante, nuestra gráfica secante tiene asíntotas donde nuestra función coseno es 0, por lo que tenemos asíntotas en (pi / 2) + pi * n = pi / 2, 3pi / 2, 5pi / 2, …. También , debido a que nuestra función coseno tiene un período estándar de 2pi, también lo tiene nuestra gráfica secante.

Gráfico cotangente

Por último, aquí está nuestro gráfico cotangente:

Función cotangente

Al igual que las otras dos gráficas, nuestra gráfica cotangente tiene asíntotas donde nuestra función tangente es igual a 0. Nuestra función tangente es igual a 0 cada pi * n espacios, por lo que en 0, pi, 2pi, etc. Vemos que nuestra función cotangente tiene asíntotas correspondientes a estos lugares. También vemos que, al igual que nuestra función tangente tiene un período estándar de pi, también lo tiene nuestra función cotangente.

Transformaciones

Hemos cubierto todos nuestros gráficos ahora. Hablemos de cambiar nuestras gráficas o transformaciones . Podemos hacer que nuestro gráfico se mueva hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha fácilmente simplemente sumando o restando números de diferentes áreas de nuestra función.

Para mover nuestro gráfico hacia arriba o hacia abajo, simplemente podemos sumar o restar números del final de nuestra función. Por ejemplo, la función csc ( x ) + 2 tiene un desplazamiento de 2 espacios hacia arriba. Si quisiéramos mover el gráfico hacia abajo, restaríamos dos del final.

Si quisiéramos mover nuestro gráfico a la derecha, restaríamos números de nuestro argumento, nuestra variable. Entonces, la gráfica de cot (x – 2) es la gráfica de cot (x) desplazada 2 espacios a la derecha. Si sumamos 2 en lugar de restar, tendríamos un desplazamiento de 2 espacios a la izquierda

Si multiplicamos nuestra función por un número, cambiará el ancho de la parte central. Por ejemplo, en la función cosecante y secante, este número cambiará la distancia entre los montículos y los saltos. Los números más grandes hacen que los montículos bajen y las caídas más altas, lo que aumenta la distancia entre los dos. Entonces, la gráfica de 4 csc ( x ) se ve así:

4 csc (x)

Mire el espacio más grande entre los montículos y las caídas. Para el gráfico cotangente, cambia el tiempo que tarda en suceder la curva en el medio. Entonces, la gráfica de 4 cot ( x ) tiene una curva menos pronunciada porque proporciona más espacio para que ocurra la curva:

4 cuna (x)

Una última transformación que podemos tener es la del período. Si multiplicamos nuestro argumento, nuestra variable, por un número, cambiará nuestro período del período estándar de la función al nuevo período que se encuentra dividiendo el período estándar por el número que multiplicamos. Entonces, el período de csc (2 x ) tiene un período de 2pi / 2 o pi. El período estándar de la función cosecante es 2pi. Multiplicar nuestro argumento por 2 cambia este período estándar a 2pi dividido por el número que estamos multiplicando. Si el número que multiplicamos es menor que 1, entonces nuestro período aumentará.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora:

Hoy, miramos las gráficas de las funciones cosecante, secante y cotangente. Definimos cosecante como el recíproco del seno o 1 / seno, secante como el recíproco del coseno o 1 / coseno, y cotangente como el recíproco de la función tangente o 1 / tangente.

Vimos que las gráficas de estas funciones compartían el mismo período estándar que las funciones de las que son recíprocas. Entonces, la cosecante tiene el mismo período que la función seno de 2pi, la secante tiene el mismo período que la función coseno de 2pi y la cotangente tiene el mismo período que la función tangente de pi.

Además, estas funciones tienen asíntotas donde las funciones recíprocas tienen ceros. Entonces, la función cosecante tiene asíntotas donde la función seno es igual a 0, entonces cada pi * n . La función secante tiene asíntotas cada (pi / 2) + pi * n . Y la cotangente tiene asíntotas cada pi * n espacios.

Podemos hacer transformaciones o cambios en nuestro gráfico sumando o restando números en diferentes áreas. Si sumamos o restamos números del final de nuestra función, movemos nuestro gráfico hacia arriba (sumar) o hacia abajo (restar). Si sumamos o restamos números del argumento, la variable, movemos nuestro gráfico hacia la derecha (resta) o hacia la izquierda (sumar). Si multiplicamos nuestra función por un número, aumentamos la distancia en el medio. Si multiplicamos nuestro argumento por un número, cambiamos el período estándar de la función dividiendo por el número que multiplicamos. Entonces, la función csc (2 x ) tiene un período de 2pi / 2 o pi.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, podrá:

• Definir cosecante, secante y cotangente
• Identificar las gráficas de estas funciones
• Recuerde dónde tienen asíntotas estas tres funciones
• Explica cómo hacer transformaciones en las gráficas de cosecante, secante y cotangente.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador