Gráfico de funciones crecientes y ejemplos

¿Qué es una función creciente?

Recuerde que una función , f , de una variable real x es una correspondencia biunívoca que asigna cada valor de x a un valor de y. Este valor de y, que se asigna a x, a menudo se escribe como f(x) . Podemos graficar la función usando un sistema de coordenadas rectangulares. Esto se llama la gráfica de la función.

Imagina una función graficada en un sistema de coordenadas rectangulares. Si la gráfica sube cuando se mira de izquierda a derecha, entonces la función es creciente. En otras palabras, la salida de la función aumenta a medida que aumenta la entrada de la función.

Definición de función creciente : una función f es creciente en un intervalo si para cualquiera de los dos números de entrada {eq}x_1 {/eq} y {eq}x_2 {/eq} en el intervalo, {eq}x_1 \lt x_2 {/eq} implica que {eq}f(x_1) \lt f(x_2) {/eq}.

Cómo encontrar dónde una función es creciente

Muchas funciones no aumentan en todo el dominio. Puede haber lugares donde la función sea decreciente o constante. Por lo tanto, puede ser importante encontrar un intervalo donde la función sea creciente. Hay varias maneras de hacer esto. Una forma sería graficar la función y ver hacia dónde sube la gráfica de la función. Otra sería observar los valores de salida para ver dónde aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. Otra es usar la prueba de función creciente y decreciente, que se analizará más adelante en este artículo.

función estrictamente creciente

Una función estrictamente creciente aumentará en todo el dominio de la función. La gráfica de la función aumentará a medida que aumenten los valores de x. Esto no significa necesariamente que la función aumentará al mismo ritmo en todo el dominio. Algunas funciones pueden aumentar a una tasa mayor o menor a medida que aumentan los valores de x, pero en una función estrictamente creciente, el valor de “f(x)” aumenta a medida que aumenta “x”.

Funciones crecientes y decrecientes

Ahora, imagine una función donde el gráfico de la función muestra que el gráfico disminuye a medida que aumentan los valores de x. Este gráfico mostraría que la función es decreciente en ese intervalo.

Definición de función decreciente : una función f es decreciente en un intervalo si para cualquiera de los dos números de entrada {eq}x_1 {/eq} y {eq}x_2 {/eq} en el intervalo, {eq}x_1 \lt x_2 {/eq} implica que {eq}f(x_1) \gt f(x_2) {/eq}.

Por lo tanto, las funciones crecientes y decrecientes muestran que la función cambia a medida que cambian los valores de x. Los valores de la función no son constantes. Pero una función decreciente muestra que los valores de la función disminuyen a medida que aumentan los valores de x, mientras que una función creciente muestra que los valores de la función aumentan a medida que aumentan los valores de x.

Gráfico de función creciente

La gráfica de {eq}y=x^2 {/eq} da un ejemplo de una función que crece y decrece. Tenga en cuenta que en el lado izquierdo del eje y, el gráfico desciende cuando se mira de izquierda a derecha. Por lo tanto, la función es decreciente cuando los valores de x son negativos. Mientras tanto, en el lado derecho del eje y, la gráfica sube cuando se mira de izquierda a derecha y, por lo tanto, la función es creciente. La figura 1 muestra la gráfica de una parábola.

Por lo tanto, una forma de ver si una función es creciente o decreciente sería poner un dedo en el punto más a la izquierda del gráfico. Cuando el dedo se mueve de izquierda a derecha mientras sigue la gráfica, si el dedo baja, la función es decreciente en ese intervalo, y si sube, la función es creciente en ese intervalo.

Cómo saber si una función es creciente o decreciente

Recuerda que la derivada de una función en el punto a , o {eq}f'(a) {/eq}, da la pendiente de la recta tangente de la función en el punto “a”, como se muestra en la Figura 2. Por lo tanto, es lógico que la derivada de la función se pueda usar para decir si la función es creciente o decreciente en un cierto intervalo. Recordando que si una pendiente es positiva, la recta sube; y si la pendiente es negativa, la recta desciende. Entonces, si la derivada de la función en un punto es positiva, entonces la función es creciente en ese punto. De manera similar, si la derivada de la función en un punto es negativa, entonces la función es decreciente en ese punto. De hecho, la prueba para funciones crecientes y decrecientes utiliza esta idea.

Prueba para funciones crecientes y decrecientes:

1. Si {eq}f'(x) \gt 0 {/eq} para cualquier x en el intervalo {eq}(a,b) {/eq}, entonces la función “f” es creciente en el intervalo {eq} [a, b] {/eq}.

2. Si {eq}f'(x) \lt 0 {/eq} para cualquier x en el intervalo {eq}(a,b) {/eq}, entonces la función “f” es decreciente en el intervalo {eq} [a, b] {/eq}.

3. Si {eq}f'(x) = 0 {/eq} para cualquier x en el intervalo {eq}(a,b) {/eq}, entonces la función “f” es constante en el intervalo {eq}[ a, b] {/eq}.

Tenga en cuenta que la Figura 3 muestra el gráfico de la parábola {eq}y=x^2 {/eq} nuevamente, esta vez con la adición de una línea tangente en el punto T en el lado derecho del eje y. Tenga en cuenta que esta línea tangente tiene una pendiente positiva y, por lo tanto, se deduce que la función es creciente en el punto T.

Cómo usar la prueba para funciones crecientes o decrecientes:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. Encuentre los números críticos donde la función podría ir de creciente a decreciente o decreciente a creciente. Si la derivada es una función continua, para que pase de positivo a negativo o de negativo a positivo, primero debe convertirse en cero. Por lo tanto, establezca la derivada igual a cero para encontrar los números críticos.
3. Utilice los números críticos para configurar intervalos de prueba.
4. Determine si la derivada es positiva o negativa en cada uno de esos intervalos de prueba.
5. Utilice la prueba de función creciente y decreciente para determinar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

Ejemplo de función creciente

Ejemplo 1: encuentre el intervalo para el cual {eq}f(x)=x^3 {/eq} es creciente.

Primero, encuentra la derivada de la función: {eq}f'(x)=3x^2 {/eq}. Usando los pasos descritos anteriormente, primero establezca la derivada igual a cero para encontrar los puntos críticos.

{eq}f'(0)=3x^2=3(0)^2=3*0=0 {/eq}

Por lo tanto, el único punto crítico está en x=0. Por lo tanto, los intervalos de prueba son {eq}(-\infty, 0) {/eq} y {eq}(0, \infty) {/eq}. Ahora, elija dos números, uno en cada uno de estos intervalos de prueba. Estos pueden ser cualquier número en el intervalo.

{eq}f'(-2)=3*(-2)^2=3*4=12 {/eq}, que es positivo.

{eq}f'(1)=3*1^2=3*1=3 {/eq}, que es positivo.

Por lo tanto, la función {eq}y=x^3 {/eq} es una función estrictamente creciente.

Ejemplo 2: Encuentra los intervalos donde {eq}f(x)=2x^3+3x^2-12x {/eq}

La derivada es {eq}f'(x)=6x^2+6x-12 {/eq}. Iguala la derivada a cero y resuelve usando la factorización:

{eq}0=6x^2+6x-12 \\ 0=6(x^2+62-12) \\ 0 = 6(x+2)(x-1) \\ x+2=0 \text { } x-1=0 \\ x=-2 \text{ } x=1 {/eq}

Así, los puntos críticos están en -2 y 1. Los tres intervalos son así: {eq}(-\infty,-2), (-2, 1), (1, \infty) {/eq}. Probando un número dentro de cada uno de estos intervalos, cuál realmente no importa. Usando -3, 0 y 2 como puntos de prueba, tenga en cuenta que {eq}f'(-3)=24 {/eq}, que es un valor positivo, por lo que la función es creciente allí. En {eq}f'(0)=-12 {/eq}, entonces la función es decreciente allí. En {eq}f'(2)=24 {/eq}, que es positivo, la función vuelve a ser creciente. Por lo tanto, la función es creciente en {eq}(-\infty, -2) \text{ y} (1,\infty) {/eq}

Resumen de la lección

Una función proporciona una relación entre dos conjuntos de números y para cada entrada hay un valor de salida. Las funciones pueden ser crecientes, decrecientes o constantes. Una función creciente es aquella en la que, dados dos valores de entrada, el primero menor que el segundo, el primer valor de salida será mayor que el segundo. Si la función está graficada, la línea o curva subirá al mirar de izquierda a derecha. Una función decreciente es una función donde, dados dos valores de entrada, el primero menor que el segundo, el primer valor de salida será mayor que el segundo. Para una función decreciente, si se grafica la función, la línea o curva irá hacia abajo. Recordando que la derivada de la función da la pendiente de la recta tangente en ese punto y que las pendientes positivas van hacia arriba mientras que las negativas van hacia abajo, podemos deducir la prueba de funciones crecientes y decrecientes. En particular, si la derivada de una función es positiva para cierto intervalo, entonces la función original es creciente en ese intervalo. Además, si la derivada es negativa, la función es decreciente; y si la derivada es cero en cierto intervalo, entonces la función es constante allí.