El gráfico básico
La función logarítmica , o la función logarítmica para abreviar, se escribe como f (x) = base logarítmica b ( x ), donde b es la base del logaritmo y x es mayor que 0. ¿Qué significa esto? Te está diciendo qué exponente, f (x) , se requiere para elevar la base, b , al número x . Podemos reescribir esta relación usando la forma exponencial para que y = log base b ( x ) se convierta en x = b ^ y . Puede ver que la base del tronco, b, te da la base del exponente.
Al graficar funciones de registro, podemos usar esta información para ayudarnos a calcular manualmente puntos en el gráfico. Por ejemplo, digamos que queremos graficar la función y = log base2 ( x ), donde la base es 2. Podemos calcular puntos usando la forma exponencial. Hacemos esto conectando diferentes valores para el exponente, y , y usando la forma exponencial para encontrar x .
Comenzamos con el número 1 para y . Encontramos que 2 ^ 1 = 2. Eso significa que x es 2 y y es 1. Reescribiendo esto en la forma logarítmica que tenemos, 1 = log base2 (2). De esto ya tenemos un punto, (2, 1). Para otro punto, podemos calcular 2 ^ 2, que es igual a 4. Nuestra x es 4 y nuestra y es 2. En la forma logarítmica, es 2 = log base2 (4). Nuestro segundo punto es (4, 2). Podemos continuar de esta manera para conseguir aún más puntos. Graficando esta función, vemos que esta función logarítmica tiene una curva general.
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Todas las funciones de registro tendrán una curva similar a esta. Un ejemplo de una función de registro del mundo real es la escala de Richter que se utiliza para medir la magnitud de los terremotos. Por cada aumento de número, el terremoto es en realidad 10 veces más fuerte. La escala de Richter utiliza 10 como base. Sin embargo, cuando la función se cambia de varias formas, este gráfico también se desplazará de varias formas. Pero el cambio o cambio que ocurre es predecible. Repasemos los tres tipos diferentes de cambios que veremos.
Voltea
La primera es cuando tenemos un signo negativo. Cuando esto sucede, nuestra gráfica se invertirá, ya sea sobre el eje y o sobre el eje x . El eje sobre el que se invierte el gráfico depende de dónde esté el signo negativo. Cuando el signo negativo está dentro del argumento de la función logarítmica, el gráfico cambia el eje y . (Sabemos que no podemos tomar el logaritmo de un número negativo, pero por voltear el gráfico sobre el y eje x que cambia todos los x valores a – x . Cuando ponemos un valor negativo en log (- x ) obtenemos log (- – x ), un valor positivo, por lo que en realidad estamos tomando el logaritmo de un valor positivo.) Entonces, para la función y =log base2 (- x ), veremos que nuestro gráfico ha cambiado a la imagen especular cuando el espejo es el eje y . Vemos que el punto (4, 2) se convierte en el punto (-4, 2), el punto (2, 1) se convierte en el punto (-2, 1), y así sucesivamente.
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Cuando el signo negativo está delante del registro, veremos que el gráfico se convierte en la imagen especular cuando el eje x es el espejo. Entonces, para la función y = – log base2 ( x ), vemos que la gráfica se invierte sobre el eje x . Vemos que el punto (4, 2) se convierte en el punto (4, -2), el punto (2, 1) se convierte en el punto (2, -1), y así sucesivamente.
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Una forma de recordar los giros es preguntarse a qué letra está más cerca el signo negativo. Si es la x , entonces el giro es sobre el eje y, ya que estamos cambiando de lado a través del eje y . Los valores x positivos se vuelven negativos y los valores x negativos se vuelven positivos, cambiando de lado. Si el signo negativo no está al lado de la x dentro del argumento, el cambio es sobre el eje x, ya que este negativo cambia la salida del registro, que se convierte en el número en el eje y . Por tanto, los valores de y positivos se vuelven negativos y viceversa.
Desplazamientos verticales
Veremos cambios hacia arriba y hacia abajo cuando sumamos o restamos de nuestra función.
Cuando agregamos un número a nuestra función, veremos que nuestra gráfica aumenta esa cantidad de espacios. Por ejemplo, digamos que agregamos un 4 a nuestra función para que nuestra función se convierta en y = log base2 ( x ) + 4. Veremos que nuestra gráfica se desplaza 4 espacios hacia arriba. Piense en ello como agregar 4 espacios a cada punto de nuestro gráfico original.
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Si restamos 4 de nuestra función, veremos lo contrario. Veremos que nuestro gráfico se desplaza 4 espacios hacia abajo. Piense en ello como restar 4 de cada punto de nuestra gráfica original.
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Si imagina la escala de Richter, puede pensar en sumar o restar del registro como aumentar o disminuir la magnitud del terremoto. Su gráfico se desplazará hacia arriba si suma y hacia abajo si resta.
Desplazamientos horizontales
Si sumamos o restamos del interior del argumento log, nuestro gráfico se desplazaría lateralmente. Si agregamos al argumento, nuestro gráfico desplaza esa cantidad de espacios hacia la izquierda. ¿Como sucedió esto? En nuestra función original, y = log base2 ( x ), cuando x es 1, nuestra y es 0 ya que 2 ^ 0 es 1.
En realidad, para todos los registros, cuando el argumento es 1, entonces la función será igual a 0. Entonces, el argumento en realidad nos da la intersección con x o donde la gráfica cruza el eje x . Si el argumento es simplemente x sí mismo, entonces la gráfica cruza el x eje x cuando x = 1.
Si añadimos 4 al argumento así que nuestra función se convierte en Y = log Base2 ( x + 4), entonces nuestro gráfico cruzará el x eje x cuando x + 4 = 1, o cuando x = -3. Restamos 4 de los lados para obtener x por sí solo. Comparando esto con nuestra función original, vemos que esto desplaza el gráfico 4 puntos a la izquierda. Entonces, si agregamos al argumento, desplazaremos el gráfico hacia la izquierda tantos espacios.
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Si restamos del argumento, entonces nuestro gráfico se desplazaría hacia la derecha esa cantidad de espacios. Podemos calcular este punto averiguando cuándo nuestro argumento será igual a 1. Entonces, si restamos 4, calculamos x – 4 = 1 para encontrar dónde nuestra gráfica cruzará el eje x . Vemos que x = 5 cuando esto sucede. Entonces vemos que nuestro gráfico se ha desplazado 4 espacios a la derecha.
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Piense en estos tipos de cambios como cambios en la ubicación del terremoto. Restar del argumento nos alejaría más de la ubicación del terremoto. El gráfico se desplazaría hacia la derecha, alejando el terremoto. Si agregamos al argumento, nos acercamos al terremoto y la gráfica se desplaza hacia la izquierda, aumentando la fuerza del terremoto en cada punto.
Resumen de la lección
¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la función logarítmica , o la función logarítmica para abreviar, se escribe como f (x) = base logarítmica b ( x ), donde b es la base del logaritmo y x es mayor que 0. Hemos aprendido que el gráfico básico de la función logarítmica tiene una curva. Cuando hacemos cambios en el gráfico, vemos que esta curva gira, se mueve hacia arriba o hacia abajo, o se mueve hacia los lados.
¿Cuales son las normas? Vemos que la gráfica da la vuelta al eje x cuando agregamos un signo negativo al frente del registro. El gráfico cambia el eje y cuando agregamos un signo negativo al argumento log. El gráfico se mueve hacia abajo cuando restamos de la función y hacia arriba cuando sumamos a la función. Mueve tantos espacios como se suman o restan. Asimismo, si agregamos al argumento, vemos que el gráfico se mueve hacia la izquierda esa cantidad de espacios. Si restamos del argumento, vemos que la gráfica se mueve hacia la derecha tantos espacios.
Los resultados del aprendizaje
Vea esta lección en video y aumente su capacidad para:
- Interpretar un cambio o voltear una gráfica con una función logarítmica
- Manipular una función logarítmica para producir un giro o un desplazamiento vertical u horizontal en el gráfico.
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