Hallar el área de superficie de figuras con formas complejas
Área de superficie
Suponga que el equipo de escenario de una obra está construyendo y pintando accesorios para la obra. Necesitan construir un accesorio que sea un cubo con un prisma triangular adherido a un lado. Primero, construyen el cubo con una longitud de lado de 5 pies. Luego construyen el prisma triangular de manera que la altura del prisma sea de 5 pies y la base sea un triángulo equilátero con una longitud de lado de 5 pies y una altura de 5,6 pies.
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Antes de juntar las dos partes para crear el accesorio, quieren pintar cada una por separado, por lo que necesitan saber cuánta pintura necesitarán. Esto involucra el área de superficie de cada parte. El área de superficie de una figura tridimensional es el área total que ocupa la superficie de la figura. La fórmula para el área de la superficie de un cubo con una longitud de lado a es la siguiente:
- 6 (área de una cara) = 6 a 2
La fórmula para el área de la superficie de un prisma triangular con la altura de una , y bases que son triángulos equiláteros con una longitud de lado una y la altura h es la siguiente:
- 2 (área de una base) + 3 (área de un lado cuadrado) = 2 (1/2) a h + 3 a 2 = ah + 3 a 2
Solo necesitamos insertar a = 5 y h = 5.6 en estas fórmulas para determinar cuánta pintura necesitamos para pintar cada una de estas partes.
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¡Excelente! Sabemos que necesitamos suficiente pintura para cubrir 150 pies cuadrados para el cubo y 103 pies cuadrados para el prisma.
Área de superficie de formas complejas
Después de pintar ambas partes del accesorio, las conectan para crear la figura deseada. Cuando hacen esto, se dan cuenta de que el accesorio se vería mejor si lo pintaran todo de un color, por lo que tienen que volver a pintar todo. Esta vez, las dos partes están conectadas, por lo que necesitamos encontrar el área de superficie de esta nueva figura para determinar cuánta pintura necesitarán.
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El puntal tiene una base de dos formas juntas, un cuadrado y un triángulo equilátero. Cuando una forma es una combinación de formas como esta, la llamamos forma compleja . Debido a que el accesorio tiene una forma compleja como base, no tenemos una fórmula agradable para su área de superficie. Cuando necesitamos encontrar el área de superficie de figuras con formas complejas como base, tenemos dos opciones.
- Encuentre el área de la base dividiéndola en formas con fórmulas de área conocidas, luego sumando las áreas de todas las superficies de la figura.
- Podemos usar fórmulas conocidas de cubos, prismas, esferas, pirámides u otras figuras para producir una fórmula para la figura considerada.
Echemos un vistazo a cómo hacer esto encontrando el área de superficie del accesorio.
Ejemplo
Para encontrar el área de superficie de todo el accesorio, primero consideremos la primera opción de encontrar el área de la base y luego sume las áreas de todas las superficies de la figura. Podemos pensar en la base como un cuadrado, con una longitud de lado de 5 pies, con un triángulo equilátero, con una longitud de lado de 5 pies y una altura de 5.6 pies, unido a él. Por lo tanto, para encontrar el área de la base, simplemente sumamos las áreas del cuadrado y del triángulo.
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El área de un cuadrado con una longitud de lado a es un 2 y el área de un triángulo equilátero con una longitud de lado a y una altura de h es (1/2) ah . Para encontrar el área de la base, conectamos a = 5 y h = 5.6 en estas fórmulas y las sumamos.
- a 2 + (1/2) ah = 5 2 + (1/2) (5) (5.6) = 25 + 14 = 39
Tenemos que el área de cada una de las bases es 39 pies cuadrados.
Ahora solo consideramos el resto de las caras del pilar, que son 5 cuadrados con una longitud de lado de 5 pies, por lo que cada una de ellas tiene un área de 5 2 o 25 pies cuadrados. ¡Perfecto! Todo lo que tenemos que hacer es sumar todas estas áreas para encontrar nuestra superficie.
- 39 + 39 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 = 203
La superficie del puntal es de 203 pies cuadrados.
También podemos ver el puntal como un cubo menos un lado y un prisma triangular con una base equilátera y lados cuadrados, menos una de las caras cuadradas. Los lados restados se deben a que las dos figuras están conectadas en ese lado, por lo que el lado ya no es parte de la superficie. Al hacer esto, podemos manipular las fórmulas para las áreas de superficie de cada una de estas figuras restando las partes apropiadas, dando lo siguiente:
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Reemplazando a = 5 y h = 5.6 en esta fórmula, se obtiene el siguiente área:
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Una vez más, obtenemos que el área de la superficie del puntal es 203 pies cuadrados.
Resumen de la lección
El área de superficie de una figura tridimensional es el área total que ocupa la superficie de la figura. Para figuras tridimensionales conocidas, tenemos buenas fórmulas para encontrar sus áreas de superficie. Sin embargo, a veces queremos encontrar el área de superficie de una figura tridimensional con una forma compleja para una base, donde una forma complejaes una forma compuesta por más de una forma simple. En estos casos, no hay una fórmula agradable que podamos usar, por lo que podemos encontrar el área de la base dividiéndola en formas con fórmulas de área conocidas, luego sumar las áreas de todas las superficies de la figura o podemos use fórmulas conocidas de las formas que componen la figura para producir una fórmula para usar. De cualquier manera, encontramos que aunque encontrar el área de superficie de una figura dada con formas complejas puede parecer desalentador, en realidad no es demasiado difícil.
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