Identidades pitagóricas
Hoy, veremos nuestras identidades pitagóricas , que son parte de nuestras identidades trigonométricas. Estas identidades pitagóricas son afirmaciones verdaderas sobre funciones trigonométricas basadas en el teorema de Pitágoras. Verás cómo se basan en el teorema de Pitágoras ( a 2 + b 2 = c 2 ). Si miras el círculo unitario en trigonometría y luego miras el triángulo rectángulo que es parte de él, los dos lados, a 2 y b 2 , son nuestras funciones trigonométricas, mientras que la hipotenusa, c , es el número 1.
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Tenemos un total de tres identidades que forman parte de las identidades pitagóricas. Tenemos uno que involucra coseno y seno, otro que involucra tangente y secante, y un tercero que involucra cotangente y cosecante.
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Usos y aplicaciones
Piense en estas identidades como fórmulas que lo ayudan a conectar nuestras funciones trigonométricas. Puede ver que nuestras funciones trigonométricas están relacionadas por el teorema de Pitágoras. Estas identidades también son fórmulas que nos ayudan a simplificar nuestros problemas. Puedes ver que si tenemos una función que es la suma del cuadrado de un seno y el cuadrado de un coseno del mismo ángulo, entonces podemos simplificar esa expresión simplemente como 1.
Verá estas identidades pitagóricas en uso en problemas que le piden que pruebe otras declaraciones trigonométricas, así como en la simplificación de problemas más complejos. Los matemáticos también usan las identidades para ayudarlos a resolver problemas más complejos usando matemáticas superiores, como el cálculo.
¿Quiere saber qué tipo de problemas puede esperar ver? Bien, veamos un par.
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Ejemplo 1
Nuestro primer problema es preguntarnos, ‘¿Qué es igual a sec 2 (70) – tan 2 (70)?’
A primera vista, podríamos pensar que necesitamos calcular cada función, cuadrarlas y luego restarlas. Pero si nos tomamos un momento y pensamos en nuestras identidades trigonométricas, en particular nuestras identidades pitagóricas, veremos que existe una manera mucho más simple, rápida y precisa de resolver nuestro problema. Miramos a través de nuestras identidades y vemos que nuestra segunda tiene las funciones tangente y secante en ella.
No está escrito exactamente como el nuestro, pero vemos que si usamos nuestras habilidades de álgebra y reorganizamos un poco la identidad, veremos que podemos obtener la función de nuestro problema. Si restamos la tangente de ambos lados, nuestra identidad se convierte en sec 2 (theta) – tan 2 (theta) = 1. Esta identidad también nos da la respuesta a nuestro problema. ¿Lo ves? Es un lindo y simple 1. ¿No fue tan fácil?
Ejemplo 2
Veamos un problema más.
Demuestre el enunciado trigonométrico sin 2 (theta) = 1 – cos 2 (theta).
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Para probar una declaración trigonométrica, comenzamos con el lado más complicado, dejando el otro lado solo. Nuestra misión es entonces convertir el lado más complicado en el lado más simple. En nuestro problema, el lado más complicado es el lado derecho. Entonces, trabajaremos en convertir el lado derecho en el lado izquierdo.
Miramos nuestras identidades para ver qué podemos sustituir. Vemos que la primera identidad tiene las funciones seno y coseno al igual que nuestro problema. También vemos que podemos sustituir el 1 en nuestro problema con esta identidad. Al hacer eso, obtenemos 1 – cos 2 (theta) = sin 2 (theta) + cos 2 (theta) – cos 2 (theta).
En este punto, ahora miramos para ver qué podemos cancelar o simplificar. Vemos que tenemos un coseno positivo solo con un coseno negativo. Estos se anulan entre sí. ¿Qué nos queda? Solo el seno al cuadrado. Y eso es lo que queríamos.
Entonces, nuestra respuesta completa incluye todos nuestros pasos. 1 – cos 2 (theta) = sin 2 (theta) + cos 2 (theta) – cos 2 (theta) = sin 2 (theta). ¡Y hemos terminado!
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que nuestras identidades pitagóricas son declaraciones verdaderas sobre funciones trigonométricas basadas en el teorema de Pitágoras. Tenemos un total de tres de esas identidades.
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Estas identidades se utilizan para ayudarnos a resolver o simplificar problemas trigonométricos más complicados. También se utilizan para ayudarnos a probar otras declaraciones trigonométricas.
Los resultados del aprendizaje
Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:
- Identificar las identidades pitagóricas
- Explica cómo resolver problemas complicados o probar otros enunciados trigonométricos con estas identidades.
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