Ley de los senos: definición y aplicación

Conquistando Triángulos

Los triángulos no dan tanto miedo, ¿verdad? Supongo que depende del contexto. Los triángulos de queso que usa una tienda de sándwiches son una vista bienvenida. El triángulo en una mesa de billar puede ser bueno o malo, dependiendo de su carácter de tiburón en la piscina. Y luego está el misterioso Triángulo de las Bermudas, que supongo que da un poco de miedo.

Pero los triángulos rectángulos son tus amigos.

Si ves este, donde conoces dos lados y quieres el tercero, ¿qué haces? ¡Teorema de pitágoras! Esto nos dice que la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, o a 2 + b 2 = c 2 .

¿Y este? Conoces este ángulo y la hipotenusa y necesitas este lado. Simplemente use ‘SOH CAH TOA’, nuestro increíble acrónimo para recordar seno, coseno y tangente. El SOH significa que el seno de un ángulo es igual al lado opuesto al ángulo sobre la hipotenusa del triángulo.

Este es el lado opuesto del ángulo, por lo que decimos que el seno 30 es igual al opuesto sobre la hipotenusa, o x sobre 6. ¡No hay problema!

Ley de los senos

Desafortunadamente, no siempre tenemos triángulos rectángulos. A veces tenemos triángulos incorrectos.

Ok, un triángulo como este no está mal. Y, de hecho, todavía podemos usar sine para ayudarnos. Y no solo ‘SOH CAH TOA’, sino algo llamado Ley de los senos . Esta ley no tiene nada que ver con dónde puede y no puede colocar letreros. No, es una herramienta muy útil para abordar cualquier triángulo.

Dice así: un / sen A = b / sen B = c / sen C . Con nuestro triángulo, las mayúsculas A , B y C son los ángulos. Y la minúscula un , b y c son las longitudes de estos lados opuestos de sus respectivos ángulos.

Con la Ley de los senos, estamos comparando proporciones. Las proporciones de los lados a los senos son iguales entre sí.

Nuevamente, esto funciona con cualquier triángulo. Y nunca necesitará usar los tres lados y ángulos. Solo necesitas dos. Entonces, si conoce dos ángulos y un lado, puede usar la Ley de los senos para encontrar el lado que falta.

Del mismo modo, si conoce dos lados y un ángulo, puede usar la Ley de los senos para encontrar el ángulo que falta, pero aquí nos enfocaremos en encontrar un lado que falta.

Problema de práctica n. ° 1

Practiquemos ese primer tipo de problema, cuando conocemos dos lados y un ángulo. Aquí hay un triángulo.

Se nos dice que el ángulo A es de 82 grados y el ángulo B es de 20 grados. También sabemos que el lado b tiene 6 unidades de largo. Podemos usar la ley de los senos para encontrar la longitud del lado a.

¿Recuerdas la ley? Es un / sen A = b / sen B = c / sen C . No necesitamos esa última parte. Simplemente conectemos lo que sabemos. Entonces es a / sin 82 = 6 / sin 20. El seno de 82 es .99, o casi 1. El seno de 20 es aproximadamente .34. Crucemos, multipliquemos. 1 por 6 es 6. a por .34 es .34 a . 6 dividido por .34 es aproximadamente 18. Entonces, el lado a tiene aproximadamente 18 unidades de largo.

Observe que la Ley de los senos se trata realmente de multiplicación cruzada. Simplemente está tomando la información proporcionada y conectándola a la ley.

Problema de práctica n. ° 2

Hagamos otro como este. En este triángulo, sabemos que el ángulo A es de 100 grados y el ángulo B es de 46 grados. Además, sabemos que el lado a tiene 21 unidades de largo. ¿Cuál es la longitud del lado b ?

¡Usemos la Ley de los senos! Tenemos 21 / sen 100 = b / sen 46. El seno de 100 es aproximadamente .98. El seno de 46 es aproximadamente .72. Ahora cruzamos, multiplicamos. 21 por .72 es aproximadamente 15. 15 dividido por .98 es, bueno, aproximadamente 15. Entonces, el lado b tiene aproximadamente 15 unidades de largo.

Ok, revisa el tiempo. Si el lado a es 21, ¿parece que el lado b podría ser 15? Sí, eso creo.

Problema de práctica n. ° 3

Hagamos uno más. En este triángulo, el ángulo A es de 65 grados y el ángulo B es de 61 grados. Si el lado a tiene 42 unidades de largo, ¿cuál es el lado b ?

¡De vuelta a la ley de los senos! Tenemos 42 / sen 65 = b / sen 61. El seno de 65 es aproximadamente .91. El seno de 61 es aproximadamente .87. Multiplicamos 42 por .87 para obtener aproximadamente 37. Y 37 dividido por .91 es aproximadamente 41. Entonces, el lado b tiene aproximadamente 41 unidades de largo.

Comprobemos esto dos veces. Si el ángulo B es solo 4 grados más pequeño que el ángulo A , ¿parece lógico que el lado b sea ​​apenas más corto que el lado a ? Sí, totalmente.

Resumen de la lección

En resumen, la Ley de los senos es una herramienta maravillosamente útil que usa razones para encontrar los lados y ángulos faltantes en cualquier triángulo.

La Ley de los senos es un / sen A = b / sen B = c / sen C . Las letras de la parte inferior representan los ángulos del triángulo. Las letras en la parte superior representan las longitudes de los lados opuestos a esos ángulos.

Cuando use la ley de los senos, simplemente ingrese la información que conoce y multiplique. Y no temas más a los triángulos.

Resultado de aprendizaje

Después de ver y estudiar esta lección, es posible que pueda aplicar la Ley de los senos para ayudar a encontrar los lados o ángulos faltantes de un triángulo. También puede comprender el significado de SOH CAH TOA y utilizarlo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador